№9. Планиметрия на клетчатой бумаге

Первый и главный приём — достроить фигуру до прямоугольника (или квадрата) по линиям сетки. Считаешь площадь прямоугольника, а потом вычитаешь площади отрезанных уголков. Работает это потому, что у каждого уголка катеты идут по линиям сетки: их длины видны на рисунке прямо в клетках, а площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов.

Второй приём — разбиение. Если фигура «косоугольная», иногда быстрее разрезать её на части, площади которых ты знаешь: прямоугольники, прямоугольные треугольники, трапеции. Вообще, формула площади трапеции — полусумма оснований, умноженная на высоту, — на клетке очень удобна: высота здесь тоже считается по клеткам.

Третий приём — специальные формулы и формула Пика. У ромба площадь равна половине произведения диагоналей, а диагонали на клетке считать легко. Формула Пика работает для любой фигуры с вершинами в узлах сетки: S = В + Г/2 − 1, где В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на её границе. Проверить формулу можно на одной клетке: внутренних узлов нет (В = 0), на границе четыре узла (Г = 4), и получается 0 + 4/2 − 1 = 1 — ровно одна клетка. Пик выручает, когда фигура маленькая и косоугольная, а узлов немного.

S(прямоугольника) = a · b S(прямоугольного треугольника) = a · b / 2 S(ромба) = d₁ · d₂ / 2 S(трапеции) = (a + b) / 2 · h формула Пика: S = В + Г/2 − 1 (В — узлы внутри, Г — узлы на границе) клетка 1 см × 1 см: площадь в клетках = площадь в см²

На клетчатой бумаге встречаются в основном четыре фигуры: четырёхугольники с вершинами в узлах, треугольники, ромбы и трапеции. Для четырёхугольника общего вида надёжнее всего достроение до прямоугольника, для треугольника — разбиение на прямоугольные треугольники (или формула «половина произведения основания на высоту», где и основание, и высота считаются по клеткам), для ромба — диагонали, для трапеции — полусумма оснований. Приём на ответ не влияет: если двумя способами получились разные числа, ищи ошибку в подсчёте клеток.

• Сначала посчитай, сколько клеток занимает габаритный прямоугольник фигуры: это опорное число.
• Катеты отрезанных треугольников считай по линиям сетки, а не по наклонной стороне фигуры.
• Сложи площади всех уголков и вычти сумму из площади прямоугольника одним действием — так меньше шансов потерять слагаемое.
• Проверяй себя вторым способом: у ромба — через диагонали, у фигуры с малым числом узлов — по формуле Пика.
• Ответ бывает нецелым (12,5 или 2,5): записывай его через запятую, как принято в бланке.
• Помни, что при клетке 1 см × 1 см площадь в клетках — это сразу площадь в квадратных сантиметрах.

Типичные ошибки. 1) Вычитают не все отрезанные уголки или вообще не вычитают их: остаётся площадь прямоугольника — 24 в задаче про ромб и 25 в задаче про четырёхугольник, а это как раз частые неверные ответы из банка. 2) Считают клетки по наклонной стороне вместо катетов, из-за чего площади уголков получаются неверными (отсюда промахи вроде 6 и 15,5). 3) Путают площадь с периметром и складывают длины сторон вместо площадей. 4) Округляют нецелый ответ: 12,5 нельзя превращать ни в 12, ни в 13. 5) Забывают, что ответ надо дать в квадратных сантиметрах, и пишут единицы измерения в бланк.

Порядок действий: (1) посчитай по клеткам габаритный прямоугольник; (2) найди все отрезанные уголки и выпиши их катеты в клетках; (3) вычти сумму площадей уголков из площади прямоугольника; (4) проверь результат вторым способом — через диагонали или по формуле Пика; (5) запиши в бланк только число.

Полезная привычка: считая клетки, помечай катеты прямо на своём черновике. Тогда проверка занимает секунды, а ошибка «взял не тот катет» становится видна сразу. И держи в голове порядок величин: площадь фигуры не может быть больше площади габаритного прямоугольника и не может быть отрицательной.

Показательные решения