№1. Кинематика: равномерное и равноускоренное движение, графики и средняя скорость
Задание №1 проверяет умение читать графики движения: по графику скорости находить ускорение и путь, по графику координаты — скорость. Ничего, кроме определений скорости и ускорения, здесь не нужно, но именно на чтении графика теряют балл чаще всего.
Начнём с нуля. Движение описывают три величины: координата x — где тело находится, скорость v — как быстро и куда оно движется, ускорение a — как быстро меняется скорость. Скорость показывает быстроту изменения координаты, ускорение — быстроту изменения скорости. Если скорость постоянна, движение равномерное и за любые равные промежутки времени тело проходит равные пути. Если скорость меняется равномерно, то есть каждый раз на одно и то же значение, движение равноускоренное и ускорение постоянно.
x = x₀ + v₀t + at²/2 · v = v₀ + at · s = (v² − v₀²)/(2a) · s = (v₀ + v)·t/2
Графики — это те же формулы, только нарисованные. На графике v(t) ускорение равно наклону линии: чем круче подъём или спуск, тем больше модуль ускорения, горизонтальная линия означает a = 0, а прямая, идущая вниз через ось времени, — торможение и последующую смену направления. На графике x(t) наклон касательной равен проекции скорости: горизонтальный участок означает покой, прямая с постоянным наклоном — равномерное движение, парабола — равноускоренное.
график v(t): ускорение = наклон линии · график v(t): путь = площадь под графиком · график x(t): скорость = наклон касательной
- Перемещение при равноускоренном движении: s = v₀t + at²/2; если тело не меняло направления, путь совпадает с модулем перемещения.
- Связь скорости и перемещения без времени: s = (v² − v₀²)/(2a). Она выручает, когда в условии не дано время.
- Путь по графику модуля скорости численно равен площади фигуры под графиком: треугольник — половина произведения основания на высоту, трапеция — полусумма оснований на высоту, прямоугольник — произведение сторон.
- Средняя путевая скорость: v_ср = S/t, где S — весь пройденный путь, а t — всё время движения. Это не среднее арифметическое скоростей.
- При торможении до остановки путь s = v₀²/(2a), а время торможения t = v₀/a.
- Единицы СИ: путь в метрах, время в секундах, скорость в м/с, ускорение в м/с². Километры в час переводят в м/с делением на 3,6: 36 км/ч — это 10 м/с.
Типичные ошибки. 1) Считают путь как произведение наибольшей скорости на всё время: при разгоне это завышает результат, потому что часть времени тело двигалось медленнее. Нужна площадь под графиком. 2) Путают путь и перемещение: если тело разворачивалось, путь больше модуля перемещения. 3) Находят среднюю скорость как среднее арифметическое скоростей на участках, хотя v_ср = S/t. 4) Берут наклон не того участка: спрашивают ускорение в конкретный момент, а его считают по двум крайним точкам того линейного участка, куда этот момент попал. 5) Теряют знак: если проекция скорости убывает, проекция ускорения отрицательна, даже когда сама скорость ещё положительна. 6) Округляют промежуточные значения и путают единицы: 15 м/с и 15 км/ч — совершенно разные скорости.
- Шаг 1. Прочитай вопрос и подчеркни, что именно ищут: ускорение, путь, скорость или момент времени.
- Шаг 2. Отметь нужный момент на оси времени и найди участок графика, которому он принадлежит.
- Шаг 3. Если ищут ускорение — возьми две крайние точки этого участка и посчитай a = Δv/Δt, а знак определи по изменению проекции скорости.
- Шаг 4. Если ищут путь — разбей фигуру под графиком на треугольники, прямоугольники и трапеции и сложи их площади.
- Шаг 5. Проверь единицы измерения и правдоподобие: при разгоне от 0 до 15 м/с за 10 с ускорение равно 1,5 м/с², а не 150 м/с².
Отдельно скажем про среднюю скорость. Здесь почти всегда спрятана ловушка: складывать скорости и делить на число участков нельзя. Средняя путевая скорость — это весь путь, делённый на всё время движения. Если первую половину пути тело прошло со скоростью v₁, а вторую — со скоростью v₂, то v_ср = 2v₁v₂/(v₁ + v₂), и это значение всегда меньше среднего арифметического. А если тело двигалось равные времена с разными скоростями, то средняя скорость как раз равна их среднему арифметическому.
v_ср = S/t · при равных участках пути v_ср = 2v₁v₂/(v₁ + v₂) · при равных временах v_ср = (v₁ + v₂)/2
Проверь себя
- Почему площадь под графиком модуля скорости равна пути, а не перемещению?
- Тело разогналось до 10 м/с за 2 с, а затем тормозило до нуля ещё 4 с. На каком участке модуль ускорения больше и во сколько раз?
- Как по графику координаты отличить покой от равномерного движения?
- В каких единицах получается ускорение, если по осям графика отложены м/с и секунды, и как это проверить по действиям с единицами?
- Велосипедист ехал 2 ч со скоростью 20 км/ч и ещё 2 ч со скоростью 10 км/ч. Чему равна его средняя скорость и почему здесь можно взять среднее арифметическое?
Показательные решения
- На графике показана проекция скорости автомобиля, интересует момент времени t = 6 с. Найти нужно проекцию ускорения a_x, её единица измерения — м/с².
- Шестая секунда лежит внутри участка от 0 с до 10 с, а на этом участке график — прямая линия. Значит, проекция скорости меняется равномерно и ускорение на всём участке одинаково, его можно считать по крайним точкам.
- Проекция ускорения равна отношению изменения проекции скорости к длительности участка: a_x = (v_x(10 с) − v_x(0 с))/(10 с − 0 с).
- По графику v_x(0 с) = 0 м/с, а v_x(10 с) = 15 м/с, поэтому a_x = (15 м/с − 0 м/с)/10 с = 1,5 м/с².
- Проверка размерности: (м/с) делим на с и получаем м/с², то есть ускорение в СИ. Знак положительный, потому что проекция скорости растёт, и это согласуется с рисунком.
- Ответ: 1,5 м/с², то есть в бланк идёт число 1,5.
Ответ: 1,5
Официальное решение из банка ФИПИ
Из графика видно, что скорость в интервале времени от 0 с до 10 с меняется линейно, значит, ускорение постоянно. На всем этом интервале времени ускорение такое же, как и в момент времени 6 с. Найдем это ускорение: a_x = (v _x (10 с) − v _x (0 с))/(10 с) = (15 м/с − 0 м/с)/(10 с) = 1,5 м/с². Ответ: 1,5.
- Нужна проекция ускорения в момент t = 26 с; ответ — число со знаком, единица измерения та же, м/с².
- 26 с попадает на участок от 20 с до 30 с. Там график — прямая линия, значит ускорение постоянно и считается по крайним точкам участка.
- Записываем формулу: a_x = (v_x(30 с) − v_x(20 с))/(30 с − 20 с).
- По графику v_x(20 с) = 15 м/с, а v_x(30 с) = -10 м/с, тогда a_x = (-10 м/с − 15 м/с)/10 с = -25/10 = -2,5 м/с².
- Размерность снова м/с², а знак минус означает, что проекция скорости убывает: тело тормозит и в конце участка начинает двигаться в обратную сторону.
- Ответ: -2,5 м/с², то есть число -2,5.
Ответ: -2,5
Официальное решение из банка ФИПИ
Из графика видно, что скорость в интервале времени от 20 с до 30 с меняется линейно, значит, ускорение постоянно. На всем этом интервале времени ускорение такое же, как и в момент времени 26 с. Найдем это ускорение: a_x = (v _x (30 с) − v _x (20 с))/(10 с) = (−10 м/с − 15 м/с)/(10 с) = − 2,5 м/с². Ответ: − 2,5.
- Нужен путь автомобиля за первые 5 с. По графику модуля скорости путь численно равен площади фигуры под линией, единица измерения — метры.
- Разбиваем фигуру на три части: разгон от 0 с до 1 с — треугольник, равномерное движение от 1 с до 3 с — прямоугольник, торможение от 3 с до 5 с — треугольник.
- Считаем площади: треугольник разгона 1/2 · 10 м/с · 1 с = 5 м, прямоугольник 10 м/с · 2 с = 20 м, треугольник торможения 1/2 · 10 м/с · 2 с = 10 м.
- Складываем: S = 5 м + 20 м + 10 м = 35 м. Размерность проверяется сразу: произведение м/с на с даёт метры.
- Проверка правдоподобия: даже при постоянной скорости 10 м/с за 5 с тело прошло бы 50 м, а у нас часть времени скорость была меньше, поэтому 35 м — разумный результат.
- Ответ: 35 м, то есть число 35.
Ответ: 35
Официальное решение из банка ФИПИ
Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом, необходимо вычислить площадь под графиком (в единицах произведения величин, отложенных по осям координат). За 5 c автомобиль прошел путь: S = 1/2 · 10 м/с · 1 с + 10 м/с · (3 − 1) с + 1/2 · 10 м/с · (5 −³) с = 35 м. Другой способ решения заключается в анализе каждого участка графика в отдельности, определения из графика начальных скоростей и ускорений на каждом этапе и использования стандартных кинематических формул для пути. Ответ: 35.