№10. Соответствия: изопроцессы, работа газа и внутренняя энергия
Задание №10 — снова на соответствие, но теперь нужно разложить процессы газа по формулам и графикам: изотермический, изобарный, изохорный и адиабатный. Ключ к нему — таблица «процесс, условие, закон, график» и правило о работе как площади под графиком в осях p–V.
Изопроцесс — это процесс, в котором один из параметров состояния (p, V или T) остаётся постоянным. Названия происходят от греческого корня «изо» — равный: изотермический означает постоянную температуру, изобарный — постоянное давление, изохорный — постоянный объём. Адиабатный процесс стоит особняком: газ не обменивается теплотой с окружающей средой, Q = 0, и при этом меняются все три параметра сразу.
| Процесс | Условие | Закон | График и признаки |
|---|---|---|---|
| Изотермический | T = const, ΔT = 0 | pV = const (Бойля — Мариотта) | гипербола на p–V, вертикальный отрезок на p–T, горизонтальный на V–T |
| Изобарный | p = const | V/T = const (Гей-Люссака) | горизонталь на p–V, горизонталь на p–T, прямая через начало координат на V–T |
| Изохорный | V = const, ΔV = 0 | p/T = const (Шарля) | вертикаль на p–V, прямая через начало координат на p–T, вертикаль на V–T |
| Адиабатный | Q = 0, теплообмена нет | Q = ΔU + A, то есть A = −ΔU | крутая кривая на p–V, без теплообмена с внешней средой |
- Изотермический процесс: ΔU = 0, так как T не меняется, поэтому Q = A — вся подведённая теплота превращается в работу газа.
- Изобарный процесс: A = p·ΔV не равно нулю, ΔU = (3/2)·p·ΔV, поэтому Q = (5/2)·p·ΔV: теплота идёт и на работу, и на нагрев газа.
- Изохорный процесс: A = 0, поэтому Q = ΔU, а изменение внутренней энергии считают как (3/2)·V·Δp.
- Адиабатный процесс: Q = 0, поэтому A = −ΔU — расширяясь без теплообмена, газ охлаждается, а сжимаясь, нагревается.
- Работа газа равна площади под графиком процесса в осях p–V: при расширении A > 0, при сжатии A < 0.
- Работа внешних сил противоположна по знаку работе газа: A_внеш = −A_газа, поэтому «максимальная положительная работа внешних сил» — это максимальная по модулю работа сжатия.
- Внутренняя энергия одноатомного идеального газа: U = (3/2)·νRT = (3/2)·pV, то есть растёт вместе с произведением pV.
pV = const (T = const) · V/T = const (p = const) · p/T = const (V = const) · Q = ΔU + A · A = p·ΔV
- Шаг 1. Посмотри, что с чем сопоставляется: процессы с формулами, процессы с графиками или графики с величинами.
- Шаг 2. Расставь надёжные пары: там, где постоянный параметр назван прямо («объём не меняется» — это изохора), связь очевидна.
- Шаг 3. Отдельно разберись с работой: смотри, растёт объём или уменьшается, и какова площадь под графиком — это сразу отделяет расширение от сжатия.
- Шаг 4. Для теплоты вспомни первый закон: Q = ΔU + A даёт Q = A на изотерме, Q = ΔU на изохоре и сумму двух слагаемых на изобаре.
- Шаг 5. Проверь остаток: если сомневаешься между двумя вариантами, распиши величину в буквах и сравни с формулами из списка.
Типичные ошибки. 1) Путают изобару и изохору на графике p–T: горизонталь — это изобара (постоянно давление), а прямая через начало координат — изохора. 2) Считают, что при изотермическом сжатии внутренняя энергия растёт: при T = const у идеального газа ΔU = 0. 3) Забывают, что в изохорном процессе работа нулевая, и подставляют A = p·ΔV с ненулевым ΔV. 4) При адиабатном расширении «находят» теплоту: по определению Q = 0, и газ охлаждается именно поэтому. 5) Сравнивают работы по конечному объёму вместо площади: важны и высота (давление), и ширина (изменение объёма). 6) Смешивают работу газа и работу внешних сил, у которых знаки противоположны.
Полезно знать: графики нагревания и фазовых переходов. В этой позиции встречаются и графики зависимости температуры от подведённой теплоты. Горизонтальные полки на них — фазовые переходы: нижняя полка отвечает плавлению твёрдого тела, верхняя — кипению жидкости. Наклонный участок между полками — нагревание жидкости, а последний наклонный участок — нагревание пара. При охлаждении вещества полки идут в обратном порядке: сначала конденсация пара, затем кристаллизация, а между ними остывает жидкость. Крутизна наклонного участка обратна теплоёмкости: чем круче прямая, тем меньше c = ΔQ/(m·ΔT).
Проверь себя
- Чем изотермический процесс отличается от адиабатного, если в обоих газ может расширяться?
- Почему в изобарном процессе теплота больше изменения внутренней энергии, а в изохорном они равны?
- Как по графику в осях V–T отличить изобару от изохоры?
- Почему при адиабатном сжатии температура газа растёт, хотя теплота к нему не подводится?
- В каких единицах получится работа газа, если давление взято в кПа, а объём в литрах, и что нужно сделать перед подстановкой?
Показательные решения
- Дано: цикл 1–2–3 на диаграмме p–V, газ одноатомный идеальный. Нужно сопоставить два процесса с выражениями для количества теплоты.
- Определяем процессы. Участок 1–2 — горизонтальный отрезок на высоте p₂, объём растёт: это изобарное расширение. Участок 2–3 — вертикальный отрезок при объёме V₂, давление падает: это изохорное охлаждение.
- Первый закон термодинамики: Q = A + ΔU, где A — работа газа, ΔU — изменение внутренней энергии.
- Для изобарного процесса 1–2: A = p₂·(V₂ − V₁), а ΔU = (3/2)·νR·ΔT = (3/2)·p₂·(V₂ − V₁), так как pV = νRT.
- Складываем: Q = p₂·(V₂ − V₁) + (3/2)·p₂·(V₂ − V₁) = (5/2)·p₂·(V₂ − V₁) — это вариант 2.
- Для изохорного процесса 2–3 объём не меняется, поэтому A = 0 и вся теплота равна изменению внутренней энергии: ΔU = (3/2)·νR·ΔT = (3/2)·(p₁ − p₂)·V₂ — это вариант 3.
- Проверка размерности: [p·V] = Па·м³ = Н·м = Дж, количество теплоты получается в джоулях. Итог: А — 2, Б — 3, поэтому ответ 23.
Ответ: 23
Официальное решение из банка ФИПИ
Идеальный газ подчиняется уравнению состояния Клапейрона — Менделеева: pV = ν RT. Изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа равно: Δ U = 3/2 ν RΔ T Изобарическому расширению соответствует процесс 1–2. Согласно первому началу термодинамики, все переданное газу тепло идет на совершение газом работы против внешних сил и на изменение внутренней энергии: Q = A + Δ U. В данном случае A = p₂ (V₂ − V₁), Δ U = 3/2 ν RΔ T = 3/2 pΔ V = 3/2 p₂ (V₂ − V₁). Таким образом, количество теплоты, поглощаемое газом в процессе изобарического расширения, равно Q = p₂ (V₂ − V₁) + 3/2 p₂ (V₂ − V₁) = 5/2 p₂ (V₂ − V₁) (А — 2). Изохорическому охлаждению соответствует процесс²–3. Изменение внутренней энергии при этом равно Δ U = 3/2 ν RΔ T = 3/2 Δ p V = 3/2 (p₁ − p₂) V₂ (Б — 3). Ответ: 23.
- Дано: несколько процессов на диаграмме p–V. Нужно найти процесс с минимальной положительной работой газа и процесс с максимальной положительной работой внешних сил.
- Главное правило: работа газа численно равна площади под графиком процесса в осях p–V, причём расширению отвечает A > 0, а сжатию A < 0.
- Работа внешних сил противоположна по знаку работе газа: там, где газ сжимают, внешние силы совершают положительную работу.
- Минимальную положительную работу газа ищем среди расширений: сравниваем площади и берём наименьшую. По рисунку это процесс 1.
- Максимальная положительная работа внешних сил — это наибольшая по модулю работа сжатия, то есть самая большая площадь среди процессов, где объём уменьшается. Это процесс 4.
- Проверка логики: расширение всегда даёт положительную работу газа, сжатие — отрицательную, поэтому знак здесь важнее абсолютной величины площади.
- Итог: А — 1, Б — 4, поэтому ответ 14.
Ответ: 14
Официальное решение из банка ФИПИ
На диаграмме p − V работе соответствует площадь под графиком процесса. При этом если газ расширяется, то он совершает положительную работу, внешние силы совершают отрицательную работу. При сжатии газа — наоборот: газ совершает отрицательную работу, внешние силы совершают положительную работу. Отсюда сразу же получаем ответ. Процессу с минимальной положительной работой газа соответствует процесс, в ходе которого газ расширяется, а площадь под графиком минимальна (из рисунка ясно, что это процесс 1). Максимальную же положительную работу внешние силы совершают при сжатии, когда площадь под графиком максимальна (это процесс 4). Ответ: 14.
- Дано: графики двух процессов, для которых нужно определить, получает газ теплоту или отдаёт её.
- Первый процесс 1–2 идёт при постоянном объёме — это изохорное нагревание. Объём не меняется, значит, работа газа равна нулю: A = 0.
- Температура при изохорном нагревании растёт (давление увеличивается), поэтому ΔU > 0. Из первого закона Q = ΔU + A получаем Q > 0: газ получает положительное количество теплоты. Это вариант 4.
- Второй процесс 3–4 идёт с уменьшением объёма и уменьшением давления, то есть это сжатие. Работу совершают внешние силы, а работа самого газа отрицательна: A < 0.
- Произведение pV при этом уменьшается, значит, по pV = νRT температура падает и внутренняя энергия уменьшается: ΔU < 0.
- По первому закону Q = ΔU + A: и ΔU, и A отрицательны, поэтому Q < 0 — газ отдаёт положительное количество теплоты окружающей среде. Это вариант 2.
- Здесь мы сравнивали знаки величин, а не числовые значения, поэтому проверка размерности не нужна. Итог: А — 4, Б — 2, поэтому ответ 42.
Ответ: 42
Официальное решение из банка ФИПИ
В процессе 1–2 происходит изохорическое нагревание. В таком процессе внутренняя энергия тела возрастает, и над газом не совершается работа. По первому закону термодинамики Q = Δ U + A, где Q — количество теплоты, переданное газу, Δ U — изменение его внутренней энергии, A — работа, совершаемая газом. Из первого закона термодинамики ясно, что в процессе 1–2 газ получает положительное количество теплоты. Процесс³–4 — сжатие, при этом происходит уменьшение давления газа. Значит, над газом совершают работу. Давление и объем газа уменьшаются, поэтому, из уравнения Клапейрона — Менделеева, pV = ν RT, можно сказать, что температура газа падает, следовательно, уменьшается его внутренняя энергия. Над газом совершают работу, но при этом его внутренняя энергия уменьшается, следовательно, газ отдает положительное количество теплоты. Ответ: 42.