№11. Постоянный ток: закон Ома, соединения, работа и мощность
Задание №11 — расчётная задача по постоянному току: нужно найти сопротивление участка, силу тока, напряжение, работу или мощность. Ошибки здесь почти всегда «схемные» или арифметические: неверно упростили соединение резисторов, забыли перевести миллиамперы в амперы либо приняли показание вольтметра за напряжение на всём участке.
Постоянный ток — это направленное движение заряженных частиц, при котором сила тока со временем не меняется. Сила тока показывает, какой заряд проходит через поперечное сечение проводника за одну секунду, и измеряется в амперах (А). Напряжение показывает, какую работу совершает электрическое поле при переносе единичного заряда, и измеряется в вольтах (В). Сопротивление говорит о том, насколько проводник мешает току, и измеряется в омах (Ом).
I = Δq/Δt · U = I·R · R = U/I
Соотношение U = I·R — это закон Ома для участка цепи: напряжение на участке прямо пропорционально силе тока, а коэффициентом пропорциональности служит сопротивление. Для всей цепи, в которую включён источник, закон выглядит иначе: I = ε/(R + r), где ε — ЭДС источника (в вольтах), R — сопротивление внешнего участка, r — внутреннее сопротивление источника. Отсюда напряжение на клеммах источника U = ε − I·r: чем больше ток, тем заметнее «просадка» напряжения. Именно поэтому по графику «напряжение против силы тока» можно найти и ЭДС (точка при нулевом токе), и внутреннее сопротивление (наклон прямой).
I = ε/(R + r) · U = ε − I·r
Соединения резисторов различают не по рисунку, а по току. Если через элементы течёт один и тот же ток — соединение последовательное: сопротивления складываются, а напряжения пропорциональны сопротивлениям. Если элементы имеют общие концы и на них одинаковое напряжение — соединение параллельное: складываются токи, а общее сопротивление меньше самого маленького из слагаемых. Замкнутый ключ превращает участок в идеальный проводник с нулевым сопротивлением: закороченные резисторы из расчёта выбрасывают, потому что ток идёт в обход них.
R = R₁ + R₂ (последовательно) · 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ (параллельно) · R = R₁R₂/(R₁ + R₂)
- Сила тока: I = Δq/Δt, единица — ампер (А); 1 мА = 10⁻³ А, 1 мкА = 10⁻⁶ А.
- Закон Ома для участка цепи: I = U/R, U = I·R, R = U/I.
- Закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r), напряжение на клеммах U = ε − I·r.
- Последовательное соединение: ток одинаков, напряжения складываются, R = R₁ + R₂ + …
- Параллельное соединение: напряжение одинаково, токи складываются, для двух резисторов R = R₁R₂/(R₁ + R₂), для n одинаковых — R/n.
- Работа тока: A = U·I·t (в джоулях); мощность тока: P = U·I = I²R = U²/R (в ваттах).
- Закон Джоуля — Ленца: Q = I²R·t — именно это теплота, которая выделяется на проводнике.
- КПД источника: η = R/(R + r), то есть отношение полезной мощности к полной.
- Шаг 1. Выпиши данные и сразу переведи всё в СИ: мА в А, кОм в Ом, мкА в А.
- Шаг 2. Найди участок, о котором спрашивают, и упрости его: сначала параллельные группы, потом последовательные.
- Шаг 3. Запиши нужный закон буквами и вырази неизвестную величину до подстановки чисел.
- Шаг 4. Подставь числа, следя за единицами измерения, и посчитай по действиям.
- Шаг 5. Проверь результат: сопротивление параллельного участка меньше наименьшего из слагаемых, ток в ветви не больше общего тока, мощность положительна.
Типичные ошибки. 1) Складывают сопротивления там, где соединение параллельное, и получают значение больше верного. 2) Не переводят миллиамперы в амперы и килоомы в омы: ответ отличается в тысячу раз. 3) Забывают, что идеальный вольтметр не меняет ток в цепи, и начинают «делить» ток между резистором и вольтметром. 4) При разомкнутом и замкнутом ключе считают сопротивление одинаковым, хотя закоротка выбрасывает часть резисторов. 5) Путают работу тока A = U·I·t (джоули) и мощность P = U·I (ватты). 6) Округляют промежуточные значения: считай точно, округляй только ответ.
Проверь себя
- Почему при уменьшении внешнего сопротивления напряжение на клеммах источника падает, хотя сила тока растёт?
- Как по графику зависимости напряжения на клеммах источника от силы тока найти ЭДС и внутреннее сопротивление?
- Что произойдёт с общим сопротивлением участка, если замкнуть ключ, который шунтирует один из двух последовательных резисторов?
- Чем отличаются работа тока и мощность тока и в каких единицах измеряется каждая величина?
- Почему при последовательном соединении напряжение распределяется пропорционально сопротивлениям, а не делится поровну?
Показательные решения
- По фотографии цепи снимаем показания приборов: амперметр показывает 0,38 А, вольтметр — 3,8 В. Условие просит увеличить силу тока на ΔI = 0,22 А и найти, на сколько вольт нужно поднять напряжение.
- Сопротивление резистора неизменно, поэтому применяем закон Ома для участка цепи: R = U/I = 3,8 В / 0,38 А = 10 Ом.
- Зависимость линейна, значит приращения связаны тем же законом Ома: ΔU = ΔI·R. Объяснять это удобно так: поделим два равенства U = I·R и U + ΔU = (I + ΔI)·R друг на друга.
- Подставляем числа: ΔU = 0,22 А · 10 Ом = 2,2 В. Единицы согласованы: ампер, умноженный на ом, даёт вольт.
- Проверка: новое напряжение должно быть 3,8 В + 2,2 В = 6,0 В, а новый ток 0,38 А + 0,22 А = 0,60 А; делим 6,0 В на 0,60 А и снова получаем 10 Ом — сопротивление не изменилось, расчёт верен.
- Ответ: напряжение нужно увеличить на 2,2 В.
Ответ: 2,2
Официальное решение из банка ФИПИ
Согласно закону Ома, сила тока через проводник пропорциональна напряжению между его концами: U = IR. В силу линейности этого соотношения увеличение силы тока и увеличение напряжения связаны аналогичным соотношением: Δ U = Δ IR. Поделив оба равенства друг на друга и учитывая показания приборов на фотографии, получаем, что для увеличения силы тока на 0,22 A необходимо увеличить напряжение на Δ U = U Δ I/I = 3,8 В · (0,22 А)/(0,38 А) = 2,2 В. Ответ: 2,2.
- Дан участок цепи: резистор r включён последовательно с группой из двух одинаковых резисторов 3r, соединённых между собой параллельно. Известно r = 1 Ом, нужно найти сопротивление всего участка.
- Сначала упрощаем параллельную группу. Для двух одинаковых сопротивлений R = R₁R₂/(R₁ + R₂) = 3r·3r/(3r + 3r) = 9r²/(6r) = 1,5r.
- Теперь группа ведёт себя как один резистор сопротивлением 1,5r, включённый последовательно с r, поэтому сопротивления складываются: R = r + 1,5r = 2,5r.
- Подставляем значение: R = 2,5 · 1 Ом = 2,5 Ом.
- Проверка размерности: ом умножается на безразмерный коэффициент, значит результат в омах. Проверка смысла: 2,5 Ом больше r = 1 Ом (участок включён последовательно) и меньше суммы 1 Ом + 3 Ом = 4 Ом, потому что параллельная группа всегда даёт меньше меньшего из своих резисторов.
- Ответ: сопротивление участка равно 2,5 Ом.
Ответ: 2,5
Официальное решение из банка ФИПИ
Участок представляет собой последовательное соединение резистора r и двух параллельно соединенных резисторов 3r. Следовательно, сопротивление этого участка равно r + (3r · 3r)/(3r +³r) = 2, 5r = 2,5 Ом. Ответ: 2,5.
- Дан график зависимости силы тока в проводнике от напряжения между его концами. Нужно найти сопротивление и дать ответ в килоомах.
- График — прямая, проходящая через начало координат, значит проводник подчиняется закону Ома для участка цепи, и его сопротивление постоянно во всех точках.
- Выбираем на прямой удобную точку: напряжение 8 В, сила тока 2 мА. Берём точку точно на линии, чтобы не ошибиться.
- Переводим ток в амперы: 2 мА = 2·10⁻³ А, и считаем R = U/I = 8 В / (2·10⁻³ А) = 4000 Ом.
- Переводим в килоомы: 4000 Ом = 4 кОм. Полезно запомнить: отношение вольт к миллиамперу сразу даёт килоомы, здесь 8/2 = 4.
- Проверка размерности: вольт, делённый на ампер, даёт ом, а 4000 Ом — это ровно 4 кОм, как и требует условие.
- Ответ: сопротивление проводника равно 4 кОм.
Ответ: 4
Официальное решение из банка ФИПИ
Согласно закону Ома, сила тока, сопротивление проводника и напряжение между его концами связаны соотношением U = IR. Используя график, находим сопротивление проводника R = U/I = 8 В/2 мА = 4 кОм. Ответ: 4.