№12. Магнитный поток, электромагнитная индукция и самоиндукция катушки
Задание №12 — про магнитный поток и катушку: закон электромагнитной индукции и ЭДС самоиндукции. Почти всегда в условии есть график, и почти всегда нужно взять наклон нужного участка. Ошибки здесь одинаковые из года в год: путают наибольшее значение величины с наибольшей скоростью её изменения и забывают перевести миллигенри в генри, а миллиамперы в амперы.
Магнитный поток показывает, сколько линий магнитной индукции пронизывает контур. Он равен произведению индукции B, площади контура S и косинуса угла α между вектором магнитной индукции и нормалью к плоскости контура. Единица потока — вебер (Вб), причём 1 Вб = 1 Тл·м². Если плоскость контура перпендикулярна полю, косинус равен единице и поток максимален; если контур расположен вдоль поля, поток равен нулю.
Φ = B·S·cos α · [Φ] = 1 Вб = 1 Тл·м²
Явление электромагнитной индукции состоит в том, что при любом изменении магнитного потока через замкнутый контур в нём возникает ЭДС индукции, пропорциональная скорости изменения потока. Знак «минус» в законе Фарадея — это правило Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы своим магнитным полем противодействовать изменению потока. Важно: ЭДС возникает не «от потока», а от его изменения, поэтому при неизменном потоке ЭДС равна нулю.
ε_i = −ΔΦ/Δt · |ε_i| = |ΔΦ|/Δt · |ε_i| = S·|ΔB|/Δt
Отдельный случай — движущийся проводник. Если проводник длиной l перемещается со скоростью v в однородном поле B, причём векторы v и B образуют угол α, то на свободные заряды внутри проводника действует сила Лоренца, и на его концах возникает ЭДС индукции, пропорциональная скорости. Отсюда и работают задания с перемычкой, скользящей по рельсам: постоянная ЭДС означает постоянную скорость.
ε = B·l·v·sin α
Катушка с током создаёт собственный магнитный поток, пропорциональный силе тока: Φ = L·I, где L — индуктивность катушки в генри (Гн). Она зависит от числа витков, размеров катушки и сердечника, но не от силы тока. Когда ток в катушке меняется, возникает ЭДС самоиндукции, равная по модулю L·|ΔI|/Δt. Катушка запасает энергию магнитного поля W = L·I²/2, и эта энергия максимальна в те моменты, когда ток максимален.
Φ = L·I · |ε_si| = L·|ΔI|/Δt · W = L·I²/2
- Магнитный поток: Φ = B·S·cos α; индукция — в теслах (Тл), площадь — в м², поток — в веберах (Вб).
- Закон электромагнитной индукции: |ε_i| = |ΔΦ|/Δt; при перпендикулярном поле |ε_i| = S·|ΔB|/Δt.
- Правило Ленца: индукционный ток мешает изменению магнитного потока.
- Движущийся проводник: ε = B·l·v·sin α, скорость в м/с, длина в м.
- Самоиндукция: |ε_si| = L·|ΔI|/Δt; 1 мГн = 10⁻³ Гн, 1 мА = 10⁻³ А, 1 мкВ = 10⁻⁶ В.
- Поток через катушку: Φ = L·I; энергия магнитного поля: W = L·I²/2, единица — джоуль (Дж).
- Индукционный ток в контуре находится по закону Ома: I = |ε_i|/R.
| Что видно на графике | Что из этого следует |
|---|---|
| Поток Φ(t) растёт по прямой | Поток меняется равномерно, ЭДС индукции постоянна и отлична от нуля |
| Участок графика Φ(t) горизонтален | Поток не меняется, значит ЭДС индукции равна нулю |
| У графика Φ(t) самый крутой наклон | Здесь максимальна ЭДС индукции — именно такой участок ищут в задании |
| Сила тока I(t) не меняется | ЭДС самоиндукции равна нулю, катушка на цепь не влияет |
| Сила тока I(t) линейно растёт или убывает | ЭДС самоиндукции постоянна и равна L·|ΔI|/Δt |
| У графика I(t) самая крутая прямая | На этом участке модуль ЭДС самоиндукции наибольший |
| В момент времени ток максимален | В этот момент ток не меняется, поэтому ЭДС самоиндукции равна нулю |
- Шаг 1. Посмотри, что дано: график потока Φ(t), график тока I(t) или движущийся проводник, и что именно нужно найти.
- Шаг 2. Если есть график, найди нужный участок и посчитай его наклон: ΔΦ/Δt либо ΔI/Δt.
- Шаг 3. Переведи данные в СИ: мГн в Гн, мА в А, мВб в Вб, см в м.
- Шаг 4. Примени формулу: |ε_i| = |ΔΦ|/Δt или |ε_si| = L·|ΔI|/Δt, а силу тока найди как I = ε/R.
- Шаг 5. Переведи результат в просимые единицы (мкВ, мВ) и проверь размерность: Гн·А/с = В.
Типичные ошибки. 1) Берут наибольшее значение потока или тока вместо наибольшей скорости изменения: важна крутизна графика, а не высота. 2) Забывают перевести миллигенри в генри и миллиамперы в амперы — ответ получается в тысячу или в миллион раз неверным. 3) В формуле Φ = B·S·cos α подставляют площадь в квадратных сантиметрах, а не в квадратных метрах. 4) Думают, что при неизменном токе в катушке исчезает магнитное поле: поле есть, но поток не меняется, поэтому ЭДС равна нулю. 5) Считают, что индуктивность зависит от силы тока: это параметр катушки, он постоянен. 6) Путают ЭДС индукции и ЭДС самоиндукции: первая связана с внешним потоком, вторая — с изменением собственного тока катушки.
Проверь себя
- Почему ЭДС индукции равна нулю, когда магнитный поток через контур постоянен, хотя сам поток может быть очень большим?
- Как изменится ЭДС индукции, если заменить контур на вдвое больший по площади при той же скорости изменения индукции поля?
- Почему индуктивность катушки не меняется при изменении силы тока в ней?
- В каких единицах измеряются магнитный поток, индуктивность и энергия магнитного поля?
- Как по графику силы тока в катушке понять, в какие моменты ЭДС самоиндукции равна нулю?
Показательные решения
- Дано: контур сопротивлением R = 0,25 Ом расположен перпендикулярно линиям магнитной индукции; стороны прямоугольника 5 см и 2 см; поле меняется по графику, нужно найти ток в интервале от 5 с до 9 с и выразить его в миллиамперах.
- Считаем площадь контура в СИ: S = 0,05 м · 0,02 м = 0,001 м² = 10⁻³ м². Контур перпендикулярен полю, поэтому cos α = 1 и Φ = B·S.
- Находим по графику изменение индукции за указанный интервал: за 4 с индукция возрастает на ΔB = 0,5 Тл, то есть скорость изменения равна 0,5 Тл / 4 с = 0,125 Тл/с.
- По закону электромагнитной индукции модуль ЭДС равен |ε_i| = S·|ΔB|/Δt = 10⁻³ м² · 0,125 Тл/с = 1,25·10⁻⁴ В.
- По закону Ома для контура находим ток: I = |ε_i|/R = 1,25·10⁻⁴ В / 0,25 Ом = 5·10⁻⁴ А. Удобнее считать одной дробью: I = S·ΔB/(R·Δt) = (10⁻³ · 0,5)/(0,25 · 4) = 5·10⁻⁴ А.
- Переводим в миллиамперы: 5·10⁻⁴ А = 0,5 мА. Проверка размерности: м²·Тл/(Ом·с) = Вб/(Ом·с) = В/Ом = А.
- Ответ: сила индукционного тока равна 0,5 мА.
Ответ: 0,5
Официальное решение из банка ФИПИ
Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС индукции, возникающая в контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока через контур: | _и| = | Δ Φ/Δ t | = | SΔ B/Δ t |. Используя закон Ома, найдем индукционный ток: I = (| _и|)/(R) = (S|Δ B|)/(RΔ t) = (0,02 · 0,05 · 0,5)/(0,25 · 4) = 5·10⁻⁴ А = 0,5 мА. Ответ: 0,5.
- Дан график зависимости магнитного потока через контур от времени. Нужно выбрать участок, на котором модуль ЭДС индукции максимален.
- По закону электромагнитной индукции |ε_i| = |ΔΦ|/Δt, то есть модуль ЭДС равен модулю наклона графика потока.
- Значит, сравнивать надо не высоту графика, а крутизну участков: чем круче идёт линия, тем быстрее меняется поток.
- Сравниваем наклоны всех четырёх участков: самый большой по модулю наклон имеет участок 2 — на нём поток меняется быстрее всего.
- Направление изменения (рост или убывание) на модуль ЭДС не влияет: знак отвечает лишь за направление индукционного тока по правилу Ленца.
- Ответ: максимальная по модулю ЭДС индукции возникает на участке 2.
Ответ: 2
Официальное решение из банка ФИПИ
ЭДС по модулю равна скорости изменения магнитного потока. Чем больше скорость изменения магнитного потока, тем больше ЭДС индукции. Модуль скорости изменения магнитного потока максимален на участке 2. Ответ: 2.
- Дано: индуктивность цепи L = 1 мГн, есть график зависимости силы тока от времени. Нужно найти модуль ЭДС самоиндукции в интервале от 15 с до 20 с и дать ответ в микровольтах.
- Переводим индуктивность в СИ: L = 1 мГн = 1·10⁻³ Гн.
- Снимаем с графика ток в начале и в конце интервала: при t = 15 с ток равен 20 мА, при t = 20 с ток равен 0 мА. Значит |ΔI| = 20 мА = 20·10⁻³ А, а Δt = 20 с − 15 с = 5 с.
- Применяем закон самоиндукции: |ε_si| = L·|ΔI|/Δt = 1·10⁻³ Гн · (20·10⁻³ А) / 5 с.
- Считаем по действиям: 20·10⁻³ А / 5 с = 4·10⁻³ А/с, затем 1·10⁻³ Гн · 4·10⁻³ А/с = 4·10⁻⁶ В.
- Переводим в микровольты: 4·10⁻⁶ В = 4 мкВ. Проверка размерности: Гн·А/с = В, всё сходится.
- Ответ: модуль ЭДС самоиндукции равен 4 мкВ.
Ответ: 4
Официальное решение из банка ФИПИ
За время от 15 до 20 с сила тока изменилась от 20 до 0 мА. Модуль ЭДС самоиндукции равен: | | = L (|Δ I|)/(Δ t) = 1·10⁻³ Гн · (20·10⁻³ А)/(5 с) = 4·10⁻⁶ В = 4 мкВ. Ответ: 4.