№13. Электромагнитные колебания и оптика

Колебательный контур — это конденсатор и катушка, соединённые в замкнутую цепь. Заряженный конденсатор создаёт электрическое поле и гонит ток через катушку, ток создаёт магнитное поле, а когда конденсатор разряжается, катушка за счёт явления самоиндукции поддерживает ток и заряжает конденсатор в обратную сторону. Энергия перекачивается из электрического поля в магнитное и обратно: в контуре возникают свободные электромагнитные колебания.

T = 2π·√(L·C) · ν = 1/T · ω = 1/√(L·C)

Период свободных колебаний определяется формулой Томсона: он пропорционален корню из произведения индуктивности и ёмкости. Поэтому увеличение индуктивности в 4 раза увеличивает период только вдвое, а уменьшение ёмкости в 4 раза уменьшает его тоже вдвое. Частота колебаний — величина, обратная периоду, поэтому при росте периода частота падает.

q = q₀·cos ωt · i = q′ = −q₀·ω·sin ωt

Заряд конденсатора меняется по гармоническому закону, а сила тока — это производная заряда, поэтому ток отстаёт от заряда на четверть периода. Отсюда главное правило чтения графиков: когда конденсатор заряжен полностью, заряд максимален, а ток равен нулю; когда конденсатор разряжен, заряд равен нулю, а ток максимален.

W_эл = q²/(2C) · W_магн = L·i²/2 · W_эл + W_магн = const

Энергии полей всё время переходят друг в друга, но их сумма остаётся постоянной. Максимум энергии электрического поля равен максимуму энергии магнитного поля и равен полной энергии контура: W = q₀²/(2C) = L·i₀²/2. Энергии колеблются вдвое быстрее заряда и тока: за один период колебаний заряда энергия успевает дважды достичь максимума и дважды обратиться в нуль.

• Формула Томсона: T = 2π·√(L·C); частота ν = 1/T, циклическая частота ω = 1/√(L·C).
• Период пропорционален корню из L и из C: изменение величины в 4 раза меняет период только в 2 раза.
• Заряд: q = q₀·cos ωt; сила тока — производная заряда, поэтому ток максимален там, где заряд равен нулю.
• Энергия электрического поля: W_эл = q²/(2C), максимальна при полностью заряженном конденсаторе.
• Энергия магнитного поля: W_магн = L·i²/2, максимальна при максимальном токе.
• Полная энергия контура: W = q₀²/(2C) = L·i₀²/2; энергия колеблется с удвоенной частотой.
• Единицы: индуктивность — генри (Гн), ёмкость — фарад (Ф), период — секунда (с); 1 мА = 10⁻³ А, 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф, 1 мкДж = 10⁻⁶ Дж.

Теперь об оптической части позиции. Прямолинейность света объясняет образование тени: если непрозрачный диск закрывает точечный источник, границы тени находят из подобия треугольников, и диаметр тени во столько раз больше диаметра диска, во сколько раз расстояние от источника до экрана больше расстояния от источника до диска.

В однородной среде свет распространяется прямолинейно. Дойдя до границы раздела двух сред, луч частично отражается, а частично проходит дальше, меняя направление. Закон отражения прост: угол падения равен углу отражения. И угол падения, и угол отражения отсчитываются от нормали — перпендикуляра к поверхности в точке падения, а не от самой поверхности. Это первое, что нужно проверить на чертеже.

α = γ (угол падения равен углу отражения)

Преломление описывает закон Снеллиуса: произведение показателя преломления среды на синус угла сохраняется при переходе через границу. Абсолютный показатель преломления n = c/v показывает, во сколько раз скорость света в среде меньше скорости света в вакууме: для воздуха n примерно равен единице, для стекла — около 1,5, для воды — 1,33. Если луч идёт из менее плотной среды в более плотную, он прижимается к нормали, и угол преломления меньше угла падения.

n₁·sin α = n₂·sin β · n = c/v · n = sin α / sin β

Если свет идёт из оптически более плотной среды в менее плотную под достаточно большим углом, преломлённый луч вообще не выходит через границу: наступает полное внутреннее отражение. Предельный угол находят из условия, что преломлённый луч скользит вдоль границы, то есть синус угла преломления равен единице. Тогда синус предельного угла равен отношению показателей преломления: n₂/n₁, где n₁ — плотная среда, из которой выходит луч.

sin α₀ = n₂/n₁ · полное внутреннее отражение возможно при n₁ больше n₂

Тонкая линза собирает или рассеивает лучи. Собирающая линза сводит параллельный главной оптической оси пучок в действительный фокус, рассеивающая — разводит так, что продолжения лучей выходят из мнимого фокуса. Оптическая сила D = 1/F измеряется в диоптриях (дптр), причём фокусное расстояние подставляют строго в метрах. Формула тонкой линзы связывает расстояния до предмета и до изображения, а увеличение показывает, во сколько раз изображение больше предмета.

D = 1/F · 1/F = 1/d + 1/f · Γ = f/d = H/h

Здесь d — расстояние от предмета до линзы, f — от линзы до изображения. У собирающей линзы F положительно; действительное изображение даёт положительное f, мнимое — отрицательное. Ход лучей для построения запоминается тремя правилами: луч, параллельный главной оптической оси, после линзы идёт через фокус; луч через оптический центр не меняет направления; луч через передний фокус после линзы идёт параллельно оси. Плоское зеркало даёт прямое мнимое изображение, расположенное симметрично за зеркалом.

• Углы в оптике всегда отсчитываются от нормали к поверхности, а не от самой поверхности.
• n = c/v; в вакууме n = 1, для воздуха тоже принимаем единицу.
• Закон Снеллиуса: n₁·sin α = n₂·sin β; чем больше n среды, тем сильнее луч прижимается к нормали.
• Условие полного внутреннего отражения: переход из плотной среды в менее плотную и sin α не меньше n₂/n₁.
• Оптическая сила: D = 1/F, единица — диоптрия (дптр), фокусное расстояние — в метрах.
• Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f; увеличение Γ = f/d = H/h.
• Луч, параллельный главной оптической оси, после собирающей линзы проходит через её фокус.
• Плоское зеркало: изображение прямое, мнимое, на том же расстоянии за зеркалом и того же размера.
• Тень от точечного источника: размеры тени и полутени находят из подобия треугольников.

• Шаг 1. Определи тему задачи: колебательный контур (график колебаний, ёмкость, индуктивность, энергия) или оптика (чертёж с лучами, линза, тень).
• Шаг 2. В задачах о контуре сними с графика период или амплитуду и сразу переведи мА, мкФ и мкДж в СИ.
• Шаг 3. Формулу Томсона применяй в виде отношения: T₂/T₁ = √(L₂C₂/(L₁C₁)), тогда промежуточные числа не нужны.
• Шаг 4. В оптике разберись с чертежом: проведи нормаль, подпиши углы, посчитай клетки и переведи их в метры.
• Шаг 5. Запиши рабочий закон буквами и только потом подставляй числа: D = 1/F, 1/F = 1/d + 1/f, n₁·sin α = n₂·sin β.
• Шаг 6. Проверь правдоподобность: синус угла не больше единицы, у стекла n около 1,4—1,6, энергия положительна.

Типичные ошибки. 1) Забывают про корень в формуле Томсона и увеличивают период во столько же раз, во сколько изменили индуктивность или ёмкость. 2) Не переводят миллиамперы в амперы при расчёте энергии: тогда энергия получается в миллион раз больше верной. 3) Считают, что заряд и ток достигают максимума одновременно, хотя они разведены на четверть периода. 4) Приписывают энергии такой же период, как у заряда, хотя энергия колеблется вдвое быстрее. 5) В оптике отсчитывают углы от поверхности вместо нормали и считают синусы в режиме радиан. 6) Оставляют фокусное расстояние в сантиметрах при расчёте оптической силы и получают значение в сто раз меньше верного.

Проверь себя

1. Почему период колебаний в контуре растёт только в 2 раза, если индуктивность катушки увеличить в 4 раза?
2. В какой момент колебаний энергия электрического поля максимальна, а энергия магнитного поля равна нулю?
3. Как изменится частота свободных колебаний, если ёмкость конденсатора уменьшить в 4 раза?
4. Почему углы в законах отражения и преломления отсчитывают от нормали, а не от поверхности?
5. Почему оптическую силу считают через фокусное расстояние в метрах, а не в сантиметрах?

Показательные решения