№15. Соответствия: колебательный контур
В позиции №15 нужно установить соответствие между двумя графиками и физическими величинами, которые эти графики могут описывать. Почти всегда речь о колебательном контуре: конденсатор и катушка обмениваются энергией, и на графиках А и Б показаны две разные зависимости от времени — например, заряд обкладки и сила тока либо сила тока и энергия магнитного поля. Здесь важно не угадывать, а опираться на формулы и на поведение величин в начальный момент.
Колебательный контур — это конденсатор и катушка в замкнутой цепи. Если конденсатор зарядить, а затем замкнуть цепь, в контуре начнутся свободные электромагнитные колебания: заряд перетекает с обкладки на обкладку через катушку, энергия переходит из электрического поля в магнитное и обратно, а из-за сопротивления проводов колебания постепенно затухают. В заданиях позиции №15 на графиках А и Б как раз и показаны две такие зависимости от времени.
T = 2π·√(L·C) · q = q₀·cos ωt · i = q′ = −q₀·ω·sin ωt
Главное, что нужно понять про эти графики: заряд и сила тока разведены во времени на четверть периода. В начальный момент конденсатор заряжен полностью, поэтому заряд максимален, а тока в катушке ещё нет. Дальше конденсатор разряжается, ток растёт и достигает максимума ровно тогда, когда заряд обращается в нуль. Затем ток перезаряжает конденсатор, и картина повторяется в обратную сторону.
q максимален ⟹ i = 0 · q = 0 ⟹ i максимален
Энергии полей ведут себя иначе. Энергия электрического поля пропорциональна квадрату заряда, энергия магнитного поля — квадрату тока. Поэтому обе энергии неотрицательны и колеблются вдвое быстрее: за один период колебаний заряда энергия дважды достигает максимума и дважды обращается в нуль. Максимумы энергии электрического поля совпадают с моментами полной зарядки конденсатора, а максимумы энергии магнитного поля — с моментами максимального тока.
W_эл = q²/(2C) · W_магн = L·i²/2 · W = q₀²/(2C) = L·i₀²/2
Полная энергия контура постоянна, если пренебречь сопротивлением: максимум энергии электрического поля равен максимуму энергии магнитного поля. Это удобно использовать в заданиях на соответствие: величину, пропорциональную квадрату заряда или тока, легко узнать по удвоенной частоте и по отсутствию отрицательных значений. А величина, которая вовсе не меняется со временем, — это параметр контура: индуктивность катушки или ёмкость конденсатора.
| Что изображено на графике | Как узнать и что это значит |
|---|---|
| Затухающие колебания, выходящие из нуля при t = 0 | Это сила тока: в начальный момент конденсатор заряжен полностью, а тока в катушке нет |
| Затухающие колебания, начинающиеся с максимума при t = 0 | Это заряд обкладки конденсатора или напряжение на конденсаторе |
| Колебания с удвоенной частотой, без отрицательных значений | Это энергия: электрического поля — с максимумами там же, где максимум заряда, магнитного — где максимум тока |
| Горизонтальная прямая, не зависящая от времени | Это параметр контура: индуктивность L или ёмкость C, они от времени не меняются |
| Максимум графика заряда | Ток равен нулю, конденсатор заряжен полностью, энергия электрического поля максимальна |
| Нуль графика заряда | Ток максимален, конденсатор разряжен, энергия магнитного поля максимальна |
| Максимум графика силы тока | Заряд равен нулю, а энергия магнитного поля катушки максимальна |
| Совпадение максимумов двух графиков | Для пары заряд и ток это невозможно, а для пары ток и энергия магнитного поля так и должно быть |
- Шаг 1. Посмотри на момент t = 0: величина равна нулю — это сила тока, величина максимальна — это заряд.
- Шаг 2. Сравни частоты: у энергии период вдвое меньше, чем у заряда и у тока.
- Шаг 3. Проверь знак: заряд и ток принимают и положительные, и отрицательные значения, а энергия всегда неотрицательна.
- Шаг 4. Вспомни формулы: W_эл = q²/(2C) максимальна вместе с зарядом, W_магн = L·i²/2 — вместе с током.
- Шаг 5. Отдели параметры от величин: индуктивность и ёмкость со временем не меняются, поэтому дают горизонтальную прямую.
- Шаг 6. Запиши ответ двумя цифрами в порядке букв А и Б, без пробелов, например 24.
Типичные ошибки. 1) Считают, что заряд и сила тока достигают максимума одновременно: на самом деле они разведены на четверть периода. 2) Ищут у энергии такой же период, как у заряда: энергия колеблется вдвое быстрее. 3) Выбирают для энергии график, уходящий ниже оси, хотя энергия не бывает отрицательной. 4) Принимают горизонтальную прямую за энергию или ЭДС, хотя постоянная величина в такой задаче — это параметр контура: индуктивность или ёмкость. 5) Не переводят миллиамперы в амперы, микрогенри в генри и микроджоули в джоули при расчёте энергии. 6) Путают график тока с графиком заряда: у них разные значения в начальный момент, а дальше они похожи.
Проверь себя
- Почему в начальный момент колебаний заряд конденсатора максимален, а сила тока в катушке равна нулю?
- Как по графику отличить зависимость заряда от зависимости силы тока?
- Почему энергия магнитного поля колеблется с удвоенной частотой по сравнению с силой тока?
- Какая величина в колебательном контуре не меняется со временем и почему?
- Как связаны максимальная энергия электрического поля и максимальная энергия магнитного поля в контуре?
Показательные решения
- Дан колебательный контур, в котором происходят затухающие колебания. График А начинается из нуля, график Б — горизонтальная прямая. Нужно определить, какие физические величины они описывают.
- Разбираем график А. В момент t = 0 величина равна нулю. В начале колебаний весь заряд сосредоточен на конденсаторе, а тока в катушке ещё нет, значит график А — это сила тока в катушке. Это вариант 2.
- Затухание колебаний объясняется выделением джоулева тепла на сопротивлении катушки и подводящих проводов, поэтому амплитуда постепенно уменьшается.
- Разбираем график Б: величина со временем не меняется. Заряд, ток и энергии полей колеблются, значит остаётся параметр контура — индуктивность катушки L. Это вариант 4.
- Проверяем остальные варианты: ЭДС самоиндукции и энергия меняются во времени, поэтому горизонтальной прямой они соответствовать не могут.
- Проверка по единицам: индуктивность измеряется в генри (Гн) и является характеристикой самой катушки, от времени она не зависит.
- Получаем А — 2, Б — 4, значит в ответ записываем 24. Ответ: 24.
Ответ: 24
Официальное решение из банка ФИПИ
На графике А представлена зависимость от времени физической величины, совершающей затухающие колебания. При этом в момент времени t = 0 эта величина равна нулю. Такими характеристиками обладает сила тока в катушке, так как в момент начала колебаний весь заряд сосредоточен на конденсаторе, и ток через катушку еще не течет. Колебания затухают из-за выделения джоулева тепла на сопротивлении. Таким образом, график А соответствует силе тока в катушке (А — 2). На графике Б представлена величина, не меняющаяся со временем. Из предложенных вариантов ответа, подходит только индуктивность катушки. Эта величина является параметром катушки и никак не меняется в ходе колебаний. Следовательно, на графике Б представлена индуктивность катушки (Б — 4). Ответ: 24.
- Дан колебательный контур: сначала конденсатор заряжают от батареи, затем переключатель переводят, и в контуре начинаются свободные колебания. Нужно сопоставить графики А и Б с величинами.
- Разбираем график А: в момент t = 0 величина максимальна, дальше колебания затухают. В начальный момент весь заряд сосредоточен на конденсаторе, значит график А — это заряд левой обкладки конденсатора. Это вариант 1.
- Знак заряда определяется полярностью: до переключения левая обкладка была соединена с положительным полюсом батареи, поэтому в начале колебаний заряд положителен.
- Разбираем график Б: колебания идут с удвоенной частотой, и величина никогда не принимает отрицательных значений. Так ведёт себя энергия.
- Выбираем между энергией электрического и магнитного поля. Энергия электрического поля W_эл = q²/(2C) пропорциональна квадрату заряда, значит её максимумы совпадают с максимумами графика А. Это вариант 2.
- Проверка: там, где заряд равен нулю, конденсатор разряжен и энергия электрического поля тоже равна нулю — на графике Б в эти моменты как раз минимумы, всё сходится.
- Получаем А — 1, Б — 2, в ответе записываем 12. Ответ: 12.
Ответ: 12
Официальное решение из банка ФИПИ
С учетом того, что в момент начала колебаний весь заряд сосредоточен на конденсаторе колебательного контура, для зависимости заряда левой обкладки конденсатора от времени имеем: q (t) = q_mcos (t)/(√(LC)). График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует заряду левой обкладки конденсатора (А — 1). Легко видеть, что график Б представляет энергию электрического поля конденсатора (Б — 2). Действительно: E_эл (t) = (q² (t))/(2C) = (q_m²)/(4C) (1 + cos (2t)/(√(LC))). Максимумы соответствуют полностью заряженному конденсатору, минимумы — моментам времени, когда конденсатор полностью разряжен. Ответ: 12.
- Дан колебательный контур, в начальный момент весь заряд сосредоточен на конденсаторе. Нужно сопоставить графики А и Б с физическими величинами.
- Записываем зависимость заряда от времени: q = q₀·cos ωt, где ω = 1/√(L·C). В момент t = 0 заряд максимален, как и должно быть в начале колебаний.
- Сила тока — производная заряда: i = q′ = −q₀·ω·sin ωt. Значит, график тока начинается из нуля и идёт синусоидой, принимая и положительные, и отрицательные значения. Именно так выглядит график А, поэтому А — сила тока в катушке, вариант 3.
- Разбираем график Б: колебания идут с удвоенной частотой, величина неотрицательна. Это энергия.
- Считаем энергию магнитного поля: W_магн = L·i²/2 = (L·i₀²/4)·(1 − cos 2ωt). Максимумы этой величины приходятся на максимальный ток, когда конденсатор разряжен, а минимумы — на моменты полной зарядки конденсатора.
- Проверка: период энергии вдвое меньше периода колебаний тока, а значения не опускаются ниже нуля, значит график Б — это энергия магнитного поля катушки, вариант 4.
- Получаем А — 3, Б — 4, в ответе записываем 34. Ответ: 34.
Ответ: 34
Официальное решение из банка ФИПИ
С учетом того, что в момент начала колебаний весь заряд сосредоточен на конденсаторе колебательного контура, для зависимости заряда левой обкладки конденсатора от времени имеем: q (t) = q_mcos (t)/(√(LC)). Следовательно, для силы тока в катушке получаем: I (t) = − q_m 1/(√(LC)) sin (t)/(√(LC)) = − I_m sin (t)/(√(LC)). График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует силе тока в катушке (А — 3). Легко видеть, что график Б представляет энергию магнитного поля катушки (Б — 4). Действительно: E_магн (t) = (LI² (t))/(2) = (LI_m²)/(4) (1 − cos (2t)/(√(LC))). Максимумы соответствуют максимальному току через катушку, когда конденсатор разряжен. Минимумы, напротив, соответствуют моментам времени, когда конденсатор полностью заряжен, а ток через катушку исчезает. Ответ: 34.