№17. Соответствия: фотоэффект и энергетические уровни
Задание №17 — на установление соответствия: каждую позицию левого столбца (переход, величину, график) нужно связать с формулировкой из правого, ответ — две цифры. В позиции две темы: энергетические уровни атома (какой переход чему отвечает) и фотоэффект (как связаны частота света, работа выхода и кинетическая энергия электронов).
Атом может находиться только в состояниях с определёнными значениями энергии — их называют стационарными уровнями. На диаграмме уровни рисуют горизонтальными линиями: чем выше линия, тем больше энергия атома. Переход между уровнями сопровождается поглощением или излучением одного фотона, и никаких промежуточных значений энергии у атома не бывает.
Направление перехода сразу отвечает на половину задания: если атом переходит на уровень с большей энергией, фотон поглощается; если на уровень с меньшей энергией — фотон излучается. Энергия фотона всегда равна разности энергий двух уровней — это второй постулат Бора.
hν = E₂ − E₁ · E = hν = hc/λ · λ = c/ν
Отсюда главная связка задания: большая разность энергий — это большая частота и маленькая длина волны. Формулировки «наибольшая длина волны» и «наименьшая частота» описывают один и тот же самый маленький энергетический зазор, а «наибольшая частота» и «наименьшая длина волны» — самый большой зазор. Путать эти две группы — основная причина потери баллов.
- Шаг 1. Раздели переходы по направлению: стрелки вверх — поглощение, стрелки вниз — излучение. Дальше сравнивай зазоры только внутри нужной группы.
- Шаг 2. Оцени разности энергий ΔE: наибольший зазор даёт фотон с наибольшей частотой и наименьшей длиной волны, наименьший зазор — наоборот.
- Шаг 3. Сначала расставь надёжные пары, те, где сомнений нет. Остальные позиции получат оставшиеся номера автоматически.
- Шаг 4. Проверь, что каждый номер из правого столбца использован ровно один раз, — это быстрый способ поймать ошибку.
| Переход | Что происходит | Формула и вывод |
|---|---|---|
| Стрелка вверх, маленький зазор | поглощение фотона малой энергии | hν = E₂ − E₁, значит большая λ и малая ν |
| Стрелка вверх, большой зазор | поглощение самого энергичного фотона | hν = E₂ − E₁, значит малая λ и большая ν |
| Стрелка вниз, маленький зазор | излучение фотона малой частоты | hν = E_верх − E_низ, наибольшая λ |
| Стрелка вниз, самый большой зазор | излучение фотона наибольшей энергии | hν = E_верх − E_низ, наибольшая ν |
| Переходы в основное состояние (n → 1) | излучение в ультрафиолетовой области (серия Лаймана) | E_n = −E₀/n², уровни сгущаются кверху |
| Переходы на уровень n = 2 | излучение в видимой области (серия Бальмера) | E_n = −E₀/n², зазоры между уровнями малы |
Если в задании спрашивают не о конкретном переходе, а об изменении величин (увеличится или уменьшится), действуй в два действия. Сначала запиши энергию фотона как разность энергий уровней и сравни два зазора, а потом переходи к частоте и длине волны по связи λ = c/ν. Помни, что частота и длина волны всегда меняются в противоположные стороны.
E_n = −E₀/n² — уровни водорода: чем меньше n, тем больше зазор между соседними уровнями
Вторая тема позиции — фотоэффект. Свет выбивает электроны с поверхности металла, если энергии каждого фотона достаточно, чтобы преодолеть притяжение к металлу. Энергию фотона считают по частоте или по длине волны (E = hν = hc/λ), а баланс энергии описывает уравнение Эйнштейна: фотон расходуется на работу выхода и на сообщение электрону максимальной кинетической энергии.
hν = A_вых + E_к max · ν_min = A_вых/h · λ_max = hc/A_вых · p = h/λ
Работа выхода A_вых — это энергия, которую нужно затратить, чтобы вырвать электрон из металла. Она определяется только родом вещества и не зависит ни от частоты, ни от интенсивности падающего света. Если энергии фотона не хватает (hν меньше A_вых), фотоэффекта не будет: отсюда и красная граница — минимальная частота ν_min = A_вых/h, то есть максимальная длина волны λ_max = hc/A_вых, при которой фотоэффект ещё возможен.
Задерживающее (запирающее) напряжение U_з — это наименьшее обратное напряжение, при котором фототок прекращается: электрическое поле тормозит даже самые быстрые электроны, поэтому eU_з = E_к max. Подставив уравнение Эйнштейна, получаем U_з = (hν − A_вых)/e: задерживающее напряжение линейно растёт с частотой и совсем не зависит от интенсивности света.
eU_з = E_к max · U_з = (hν − A_вых)/e · E_к max = hν − A_вых, но только при ν больше ν_min
Как при этом меняется фототок. Сила фототока насыщения определяется числом электронов, вылетающих с катода за секунду, а оно пропорционально интенсивности света, то есть числу падающих фотонов. Поэтому рост интенсивности поднимает фототок, но не меняет ни энергию фотонов, ни максимальную кинетическую энергию электронов. Рост частоты, наоборот, повышает энергию и скорость электронов, но сам по себе их числа не увеличивает. А если частота ниже красной границы, фотоэффекта нет вообще: сколько бы света ни падало на пластину, электроны не вылетают.
| Изменение условия | Что происходит | Что остаётся неизменным |
|---|---|---|
| Увеличивают частоту света выше красной границы | энергия фотона hν растёт, максимальная кинетическая энергия E_к max и задерживающее напряжение растут | работа выхода A_вых и красная граница этого металла |
| Уменьшают частоту света ниже красной границы | фотоэффект прекращается, максимальная кинетическая энергия равна нулю | работа выхода A_вых металла |
| Увеличивают интенсивность света при той же частоте | фотонов становится больше, сила фототока насыщения растёт | энергия фотона, E_к max, задерживающее напряжение |
| Уменьшают интенсивность света при той же частоте | сила фототока насыщения уменьшается | энергия фотона и E_к max |
| Заменяют металл пластины на другой | меняются работа выхода A_вых, красная граница и E_к max | частота, длина волны и энергия падающего фотона |
| Заменяют жёлтый светофильтр на синий | частота света растёт, длина волны уменьшается, E_к max растёт | работа выхода A_вых и материал катода |
| Увеличивают задерживающее напряжение | фототок уменьшается и при U = U_з прекращается | энергия фотона и работа выхода |
| Что на графике | Какая это величина | Почему |
|---|---|---|
| Убывающая кривая (гипербола) по оси x | энергия фотона от длины волны | E = hc/λ — обратная пропорциональность |
| Прямая из начала координат | энергия фотона от частоты | E = hν — прямая пропорциональность |
| Прямая с отсечкой на оси частот | максимальная кинетическая энергия от частоты | hν = A_вых + E_к max, нуль при красной границе |
| Горизонтальная линия | работа выхода | зависит только от материала металла |
| Кривая вида корня из x | максимальный импульс фотоэлектрона | p = √(2mE_к max) |
Типичные ошибки. Путают излучение и поглощение. Излучение — переход вниз, поглощение — переход вверх; проверяй направление стрелки раньше, чем сравниваешь энергии. Сравнивают длину стрелок на глаз вместо разности энергий уровней. Уровни на диаграмме нарисованы с разными промежутками, поэтому ориентироваться нужно на подписанные значения энергии. Приписывают частоте и длине волны одинаковый характер изменения. Они связаны как λ = c/ν, поэтому если частота выросла, длина волны обязательно уменьшилась. Считают, что работа выхода зависит от частоты или интенсивности света. Она определяется только родом вещества; от частоты зависят запирающее напряжение и кинетическая энергия электронов. Забывают про красную границу фотоэффекта. При ν меньше ν_min кинетическая энергия равна нулю, а не отрицательна. Ошибаются со знаком энергии уровня. Для водорода E_n = −E₀/n², значения отрицательные, а энергия фотона равна разности: из большего (менее отрицательного) вычитаем меньшее.
Проверь себя
- В каком случае атом поглощает фотон, а в каком — излучает?
- Как связаны длины волн двух переходов, если разность энергий одного вдвое больше, чем у другого?
- Почему работа выхода не зависит от частоты света, а задерживающее напряжение зависит?
- Что произойдёт с фототоком, если увеличить интенсивность света при той же частоте, а что — если увеличить частоту?
- Как по внешнему виду графика понять, отложена по оси x длина волны или частота?
Показательные решения
- Дана диаграмма энергетических уровней атома со стрелками переходов. Нужно указать, какой переход отвечает поглощению света наибольшей длины волны (А) и какой — излучению света наибольшей длины волны (Б).
- Разделяем переходы по направлению: стрелки вверх — атом переходит на более высокий уровень и поглощает квант, стрелки вниз — излучает.
- Длина волны связана с энергией фотона обратной зависимостью: ΔE = hc/λ. Значит, наибольшей длине волны отвечает самая маленькая разность энергий уровней.
- Среди переходов вверх ищем минимальный зазор между уровнями — это переход 1, поэтому А — 1.
- Среди переходов вниз ищем минимальный зазор — это переход 4, поэтому Б — 4.
- Проверка: оба выбранных перехода оказались самыми короткими в своей группе, и все номера использованы по одному разу. Ответ: 14.
Ответ: 14
Официальное решение из банка ФИПИ
Квант энергии поглощается при переходе на более высокий уровень, излучается при переходе на более низкий. При этом расстояние между уровнями обратно пропорционально длине волны: Δ E = hc/λ. Таким образом, поглощению света наибольшей длины волны соответствует энергетический переход 1, а излучению света наибольшей длины волны отвечает переход 4. Ответ: 14.
- В задании даны графики зависимостей нескольких физических величин от частоты падающего света. Нужно указать, какой график отвечает энергии фотона, а какой — максимальной кинетической энергии фотоэлектронов.
- Энергия падающего фотона прямо пропорциональна частоте: E = hν. Значит, её график — прямая линия, выходящая из начала координат. Такая прямая на рисунке одна (график Б), поэтому для энергии фотона выбираем вариант 3.
- По уравнению Эйнштейна hν = A_вых + E_к max энергия фотона расходуется на работу выхода и на сообщение электрону кинетической энергии, откуда E_к max = hν − A_вых.
- Это линейная функция, но она имеет смысл только там, где E_к max не отрицательна, то есть при ν не меньше A_вых/h (выше красной границы). Прямая с отсечкой на оси частот — это график А, значит для максимальной кинетической энергии выбираем вариант 4.
- Проверяем остальные варианты: работа выхода от частоты не зависит и дала бы горизонтальную линию, а максимальный импульс фотоэлектрона связан с кинетической энергией корневой зависимостью p = √(2mE_к max) и дал бы кривую, а не прямую.
- Записываем ответ по порядку: А — 4, Б — 3, то есть 43.
Ответ: 43
Официальное решение из банка ФИПИ
Энергия фотона прямо пропорциональна частоте: E = hν. На графике Б изображена именно такая зависимость физической величины от частоты, поэтому этот график соответствует энергии падающего на металл фотона (Б — 3). Согласно уравнению Эйнштейна для фотоэффекта, энергия фотона идет на работу выхода и на сообщение электрону кинетической энергии: hν = A + E_кин. Поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона зависит от частоты следующим образом: E_кин = hν − A. Если частота фотона меньше частоты A/h, соответствующей красной границе, фотоэффект не наблюдается. Поэтому от графика функции E_кин = A − hν нужно взять только часть, где E_кин ≥ 0. На графике А изображена именно такая ситуация, поэтому график А соответствует максимальной кинетической энергии фотоэлектронов (А — 4). Работа выхода фотоэлектрона характеризует свойства материала металлической пластины и не зависит от частоты падающего на нее света, поэтому график этой величины должен представлять собой горизонтальную линию. Максимальный импульс фотоэлектронов связан с с максимальной кинетической энергией соотношением p = √(2mE), а потому его зависимость от частоты будет нелинейной. Ответ: 43.
- На металлическую пластину поочерёдно направляют свет через жёлтый и через синий светофильтр. Нужно выяснить, как при замене фильтра изменяются частота падающего света и работа выхода электронов.
- Светофильтр пропускает волны только своего диапазона. Синий свет расположен в спектре ближе к фиолетовому краю, чем жёлтый, поэтому его частота больше, а длина волны меньше.
- Значит, при замене жёлтого светофильтра на синий частота падающего света увеличивается — это вариант 1.
- Работа выхода определяется только родом вещества катода: она не зависит ни от частоты, ни от длины волны, ни от интенсивности света. Металл при замене фильтров остался тем же, поэтому работа выхода не изменилась — это вариант 3.
- Проверяем по формуле: по уравнению Эйнштейна hν = A_вых + E_к max при неизменной работе выхода рост частоты даёт рост максимальной кинетической энергии и задерживающего напряжения. Это согласуется с нашими выводами.
- Ответ: частота увеличилась, работа выхода не изменилась, то есть 13.
Ответ: 13
Официальное решение из банка ФИПИ
Частота желтого света меньше частоты синего света. Светофильтр пропускает световые волны только соответствующей частоты. Поэтому при замене желтого светофильтра на синий частота света увеличивалась (1). Работа выхода электронов с поверхности металла зависит только от рода вещества. Поэтому при замене светофильтров она не менялась (3). Ответ: 13.