№2. Динамика: три закона Ньютона, силы и движение связанных тел

Механика отвечает на два вопроса: как движется тело — это кинематика, и почему оно так движется — это динамика. Причина изменения скорости — сила. Первый закон Ньютона: если равнодействующая всех сил равна нулю, тело покоится или движется равномерно и прямолинейно, и состояние покоя ничем не выделено среди равномерных движений. Второй закон Ньютона: ускорение прямо пропорционально равнодействующей всех сил и обратно пропорционально массе, а направлено так же, как равнодействующая. Третий закон: два тела действуют друг на друга силами, равными по модулю и противоположными по направлению, но приложены эти силы к разным телам и потому никогда не уравновешивают друг друга.

F = ma · равнодействующая: F = F₁ + F₂ + … (векторно) · F₁₂ = −F₂₁

• Сила тяжести F = mg приложена к самому телу и направлена вертикально вниз; в заданиях ЕГЭ обычно принимают g = 10 м/с².
• Вес P = mg — сила, с которой тело давит на опору или растягивает подвес, она приложена к опоре. При движении с ускорением вверх вес больше mg, при ускорении вниз — меньше, при свободном падении вес равен нулю, это невесомость.
• Сила упругости по закону Гука: F = kx, направлена против деформации. Жёсткость k — характеристика самой пружины, от массы груза она не зависит.
• Сила трения скольжения: F_тр = μN, направлена против движения. Коэффициент трения μ безразмерный, поэтому во сколько раз изменится μ или N, во столько же раз изменится и сила трения.
• Сила нормального давления (реакции опоры) N: на горизонтальной поверхности N = mg, на наклонной плоскости с углом α при основании N = mg·cos α.
• Модуль равнодействующей двух перпендикулярных сил: F = √(F₁² + F₂²), а не сумма модулей. Классический случай 3 Н и 4 Н даёт 5 Н.

Теперь про наклонную плоскость — любимую тему заданий этой позиции. Удобно направить одну ось вдоль плоскости, а вторую перпендикулярно ей. Тогда сила тяжести раскладывается на две составляющие: mg·sin α — скатывающая, направленная вдоль плоскости вниз, и mg·cos α — прижимающая, направленная поперёк. Из условия равновесия поперёк плоскости получается N = mg·cos α. Если трения нет, тело скользит с ускорением a = g·sin α, а при наличии трения a = g(sin α − μ·cos α). Обрати внимание: ускорение не зависит от массы — тяжёлое и лёгкое тело скатываются одинаково.

N = mg·cos α · a = g(sin α − μ·cos α) · скатывающая составляющая: mg·sin α

Связанные тела — два бруска, тележка с грузом через нить, система через блок — считают как одно целое. Внутренние силы натяжения при этом взаимно уничтожаются, поэтому сначала находят ускорение всей системы: a = F/(m₁ + m₂). Если же спрашивают силу натяжения нити, записывают второй закон Ньютона для одного из тел системы отдельно. Нить считают нерастяжимой, поэтому ускорения связанных тел одинаковы по модулю, а нить, перекинутая через неподвижный блок, лишь меняет направление силы.

a = F/(m₁ + m₂) · T = m₂a (второй закон для второго тела системы)

Типичные ошибки. 1) Складывают модули сил, направленных под углом друг к другу, вместо векторного сложения: для перпендикулярных сил нужна теорема Пифагора. 2) Путают вес и силу тяжести: вес приложен к опоре и при ускоренном движении не равен mg. 3) Подставляют массу вместо силы в формулу силы трения или считают μ размерным. 4) На наклонной плоскости берут N = mg вместо N = mg·cos α, а также путают sin α с cos α при разложении силы тяжести. 5) Складывают силы действия и противодействия и получают ноль, хотя они приложены к разным телам. 6) Забывают перевести граммы в килограммы: 200 г — это 0,2 кг, а не 200.

• Шаг 1. Нарисуй тело и расставь все силы: тяжести, нормального давления, трения, упругости и внешние силы.
• Шаг 2. Выбери оси: одну вдоль ускорения, вторую перпендикулярно ему; на наклонной плоскости — вдоль и поперёк плоскости.
• Шаг 3. Запиши второй закон Ньютона векторно, а затем в проекциях: по каждой оси сумма проекций сил равна ma.
• Шаг 4. Если тело покоится или движется равномерно, правая часть равна нулю — получится условие равновесия.
• Шаг 5. Реши систему в буквах и только потом подставляй числа; проверь единицы: сила измеряется в ньютонах, а 1 Н = 1 кг·м/с².

Проверь себя

1. Почему вес тела в лифте, который едет вверх с ускорением, больше силы тяжести, а при свободном падении равен нулю?
2. Чем масса отличается от силы тяжести и в каких единицах измеряется каждая величина?
3. Как изменится сила трения скольжения, если массу бруска уменьшить в 2 раза, а коэффициент трения оставить прежним?
4. Почему силы действия и противодействия не могут уравновесить друг друга?
5. Как найти силу нормального давления для тела на наклонной плоскости с углом α и почему она не равна mg?

Показательные решения