№22. Расчётная задача повышенного уровня: импульс, силы, равновесие и давление жидкостей
Задание №22 — полноценная расчётная задача на 2 балла: нужны и законы, и аккуратные вычисления с единицами. Чаще всего это механика: сохранение импульса при ударе, второй закон Ньютона для связанных тел, правило моментов или давление жидкости.
Расчётная задача решается по одной схеме, и она же приносит баллы: что дано → какой закон → уравнение в буквах → подстановка чисел в единицах СИ → вычисление → проверка размерности и правдоподобия → ответ с единицами. Эксперт смотрит не только на число: если нет уравнения в буквах, решение считается неполным и балл снижают.
m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ · F = ma · F₁l₁ = F₂l₂ · p = p₀ + ρgh
Первое действие — выбрать закон по ключевому слову условия. «Удар», «разрыв», «столкновение» — сохранение импульса, обязательно в проекциях на ось: импульс вектор, складывать модули нельзя. «Медленно поднимают», «равновесие», «рычаг» — правило моментов относительно точки, через которую проходит неизвестная сила. «Движется с ускорением» — второй закон Ньютона в проекциях. «Давление в жидкости», «сообщающиеся сосуды» — закон Паскаля и формула гидростатического давления. «Плавает», «погружён» — сила Архимеда и условие равновесия.
- Шаг 1. Выпиши данные с единицами и переведи всё в СИ: сантиметры в метры, граммы в килограммы, километры в час в метры в секунду, литры в кубометры.
- Шаг 2. Определи по ключевым словам, какой закон работает, и запиши его в буквах.
- Шаг 3. Сделай чертёж или расставь силы, если их несколько: так сразу видны плечи, проекции и знаки.
- Шаг 4. Получи рабочую формулу в буквах: искомая величина слева, известные — справа.
- Шаг 5. Подставь числа вместе с единицами и посчитай по действиям, не округляя раньше времени.
- Шаг 6. Проверь размерность (например, кг·м/с разделить на кг даёт м/с) и правдоподобие: масса гвоздя не может быть 80 кг, а скорость шарика — 5000 м/с.
- Шаг 7. Запиши ответ с единицами измерения, округлив до разумного числа знаков.
Типичные ошибки. 1) Складывают модули импульсов вместо проекций: у тела, летящего навстречу, проекция импульса отрицательна, иначе ответ получается завышенным. 2) Забывают перевести единицы: сантиметры в формулу момента, граммы в уравнение Ньютона, литры в уравнение состояния. 3) В системах связанных тел считают силы натяжения или ускорения разными, хотя нить нерастяжима и невесома. 4) Теряют в уравнении равновесия силу реакции опоры или силу трения, из-за чего условие равновесия получается неполным. 5) В задачах на давление жидкости путают высоту столба от свободной поверхности с высотой от дна и забывают, что атмосферное давление действует на обе поверхности, поэтому сокращается. 6) Округляют промежуточные результаты или теряют множитель 1/2 в кинетической энергии и энергии пружины.
| Ключевые слова в условии | Что применяем | Где ловушка |
|---|---|---|
| «прилипает», «неупругий удар» | сохранение импульса, затем сохранение энергии только для второго этапа | считать, что механическая энергия сохраняется при ударе |
| «система грузов», «нить нерастяжима» | второй закон Ньютона для каждого тела плюс связь ускорений | разные ускорения и разные силы натяжения |
| «медленно поднимают», «рычаг», «стержень на опорах» | правило моментов относительно шарнира или опоры | плечо силы тяжести однородного стержня равно половине длины, а не всей длине |
| «сообщающиеся сосуды», «разные жидкости» | закон Паскаля: давления равны на уровне границы раздела | полные высоты столбов вместо высот от уровня раздела |
| «плавает», «погружён наполовину» | условие равновесия с силой Архимеда | учитывать силу Архимеда только со стороны одной жидкости |
Проверь себя
- Почему при неупругом ударе нельзя сразу применять закон сохранения механической энергии?
- Что даёт перевод единиц в СИ перед подстановкой и какие переводы встречаются чаще всего?
- Почему в системе связанных тел силы натяжения нити, приложенные к телам, равны по модулю?
- Как выбрать точку, относительно которой удобно записывать правило моментов?
- Почему атмосферное давление сокращается в уравнении для сообщающихся сосудов?
- Как проверить размерность ответа для скорости, полученной из закона сохранения импульса?
Показательные решения
- Что дано: пластилиновый шарик массой m = 0,2 кг летит со скоростью v = 10 м/с под углом 60° к горизонту и прилипает к покоящейся доске массой M = 0,8 кг, подвешенной на нити. Найти высоту h подъёма доски. Все данные уже в СИ, cos 60° = 0,5.
- Ключевое слово «прилипает» означает неупругий удар: механическая энергия при ударе не сохраняется, поэтому сразу применять закон сохранения энергии нельзя. Зато в горизонтальном направлении внешних сил нет (сила натяжения нити вертикальна), значит, сохраняется горизонтальная проекция импульса.
- Уравнение в буквах: m·v·cos α = (m + M)·u, где u — скорость доски с шариком сразу после удара; вертикальную составляющую скорости шарика гасит сила со стороны подвеса, в балансе импульса она не участвует.
- Находим промежуточную величину: u = m·v·cos α/(m + M) = (0,2 кг · 10 м/с · 0,5)/(0,2 кг + 0,8 кг) = 1 м/с.
- Теперь для движения после удара применим закон сохранения энергии: (m + M)u²/2 = (m + M)gh, откуда h = u²/(2g).
- Вычисляем: h = (1 м/с)²/(2 · 10 м/с²) = 0,05 м.
- Проверяем размерность: (м²/с²) : (м/с²) = м — верно. Правдоподобие: 1 м/с — скорость пешехода, при такой скорости маятник поднимается на сантиметры, что и получилось. Ответ: 0,05 м.
Ответ: 0,05 м
Официальное решение из банка ФИПИ
Поскольку в горизонтальном направлении на систему не действует никаких сил, для доски с пластилиновым шариком выполняется закон сохранения горизонтальной компоненты импульса: m v cos α = (m + M) u, где u — скорость доски с шариком сразу после удара. Отсюда находим: u = (m v cos α)/((m + M)) = (0,2 кг · 10 м/с · cos 60 ^ (°))/(0,2 кг + 0,8 кг) = 1 м/с. После удара доска с прилипшим к ней шариком начинает отклоняться на нити, как маятник. При этом выполняется закон сохранения энергии, вся кинетическая энергия, которой доска обладала в нижнем положении переходит в потенциальную энергию при максимальном отклонении: ((m + M) u²)/(2) = (m + M) gh. Отсюда находим искомую высоту подъема доски: h = u²/2g = ((1 м/с)²)/(2 · 10 м/с²) = 0,05 м. Ответ: 0,05 м.
- Что дано: брусок массой M = 1 кг лежит на столе и связан нерастяжимой нитью с висящим грузом; на брусок действует горизонтальная сила F = 10 Н; коэффициент трения μ = 0,2; тела движутся с ускорением a = 2 м/с²; ускорение свободного падения g = 10 м/с². Найти массу висящего груза m. Все величины уже в СИ.
- Какой закон: второй закон Ньютона, причём отдельно для каждого тела, потому что силы, действующие на брусок и на груз, разные.
- Для бруска по горизонтали: Ma = F − F_тр − T; по вертикали N = Mg, а сила трения скольжения равна F_тр = μN = μMg.
- Для висящего груза по вертикали: ma = T − mg. Нить нерастяжима и невесома, поэтому ускорения тел равны по модулю, а силы натяжения, приложенные к телам, равны.
- Складываем уравнения — неизвестная сила натяжения T сокращается: Ma + ma = F − μMg − mg, откуда m(a + g) = F − M(μg + a).
- Подставляем числа: m = (10 Н − 1 кг · (0,2 · 10 м/с² + 2 м/с²))/(10 м/с² + 2 м/с²) = (10 − 4)/12 кг = 0,5 кг.
- Проверка размерности: Н : (м/с²) = (кг·м/с²) : (м/с²) = кг — верно. Ответ: 0,5 кг.
Ответ: 0,5 кг
Официальное решение из банка ФИПИ
Запишем второй закон Ньютона для двух тел в проекциях на направленную влево горизонтальную ось и направленную вверх вертикальную ось: Ma = F − F_тр − T, 0 = N − Mg, ma = T − mg, где T — сила натяжения нити, имеющая равные модули при действии на груз и на брусок в силу нерастяжимости нити. Ускорения у грузов одинаковы, поскольку соединяющая их нить нерастяжима. С учетом того, что F_тр = μ N, получаем: Ma + ma = F − μ Mg − mg Масса второго бруска равна m = (F − M (μ g + a))/(g + a) = (10 − 1 · (0,2 · 10 +²))/(10 +²) = 0,5 кг. Ответ: 0,5 кг.
- Что дано: в левом колене сообщающихся сосудов керосин плотностью ρ₁ = 800 кг/м³ со столбом высотой H = 30 см = 0,3 м, в правом — вода плотностью ρ₂ = 1000 кг/м³; уровень границы раздела жидкостей лежит на b = 10 см = 0,1 м ниже свободных поверхностей. Найти высоту столба воды h.
- Какой закон: в покоящейся жидкости на одном и том же уровне давление одинаково (закон Паскаля). Гидростатическое давление считаем по формуле p = ρgh.
- Давление у уровня границы раздела в левом колене: p₁ = p_a + ρ₁g(H − b); в правом колене: p₂ = p_a + ρ₂g(h − b).
- Приравниваем давления: ρ₁g(H − b) = ρ₂g(h − b). Атмосферное давление p_a и ускорение g сокращаются, поэтому h = ρ₁(H − b)/ρ₂ + b.
- Подставляем числа: h = 800 кг/м³ · (0,3 м − 0,1 м)/(1000 кг/м³) + 0,1 м = 0,16 м + 0,1 м = 0,26 м.
- Проверяем размерность: (кг/м³ · м) : (кг/м³) = м — верно. Правдоподобие: вода плотнее керосина, поэтому её столб короче керосинового (26 см против 30 см) — вывод согласуется с физикой. Ответ: 26 см.
Ответ: 26 см
Официальное решение из банка ФИПИ
1. Рассмотрим давление жидкостей в обоих коленах на уровне границы жидкостей. По закону Паскаля давление в обоих коленах на этом уровне должно быть одинаковым. 2. Поскольку высота столба жидкости в левом колене больше, чем в правом, делаем вывод, что в левом колене плотность жидкости меньше, чем в правом, то есть в левом — керосин, в правом — вода. Давление жидкости в левом коле≠ p₁ = ρ₁g (H − b) + p_a, в правом коле≠ p₂ = ρ₂g (h − b) + p_a. Из равенства давлений получаем: h = (ρ₁ (H − b))/(ρ₂) + b = (800 · (30 − 10))/(1000) + 10 = 26 см. Ответ: 26 см.