№23. Расчётная задача повышенного уровня: линзы, газовые процессы и электрические цепи
Задание №23 — расчётная задача на 2 балла из разных разделов: оптика, МКТ и электричество. Схема решения одна и та же, меняются только законы, поэтому главное — быстро опознать сюжет и не потерять единицы измерения.
Задание №23 проверяет умение работать с формулой в незнакомом оформлении: сюжет может быть про линзу, про газ на графике, про теплоёмкость или про цепь с источником. Порядок работы одинаков: что дано (с переводом в СИ) → закон в буквах → рабочая формула → подстановка чисел → вычисление → проверка размерности и правдоподобия → ответ с единицами.
1/F = 1/d + 1/f · D = 1/F · pV = νRT · C = Q/ΔT · I = ε/(R + r) · ε_i = |ΔΦ/Δt|
В оптике помни два закона: формулу тонкой линзы и подобие треугольников. В задачах на газ почти всегда работают уравнение состояния pV = νRT и первое начало термодинамики Q = ΔU + A; если задан график, сначала подумай, что на нём изображено — изотерма, изобара, изохора или произвольный процесс. В электричестве различай закон Ома для участка (U = IR) и для полной цепи (I = ε/(R + r)), а в заданиях с индукцией помни: ЭДС пропорциональна скорости изменения магнитного потока, а не самой индукции.
- Шаг 1. Выпиши данные и переведи в СИ: сантиметры и миллиметры в метры, литры в кубометры, килопаскали в паскали, кДж в Дж, дптр оставь как есть (это 1/м).
- Шаг 2. Определи сюжет и запиши базовый закон в буквах: формулу линзы, уравнение состояния, первое начало термодинамики или закон Ома.
- Шаг 3. Получи рабочую формулу: искомая величина слева, всё известное справа. Не подставляй числа до этого шага.
- Шаг 4. Подставь числа с единицами и посчитай по действиям; промежуточные значения не округляй.
- Шаг 5. Проверь размерность результата: м·м/м дают м, Дж/К — теплоёмкость, А·Ом — вольт.
- Шаг 6. Оцени правдоподобие: изображение в собирающей линзе при d > 2F уменьшенное; ЭДС больше напряжения на нагрузке; число молей порядка десятых долей.
- Шаг 7. Запиши ответ с единицами измерения.
| Сюжет задания №23 | Что применяем | Типовая ловушка |
|---|---|---|
| линза: даны оптическая сила и расстояние до предмета | F = 1/D, формула тонкой линзы, подобие треугольников | не перевести сантиметры в метры; считать изображение подобным предмету |
| газ на графике: найти количество вещества, минимальное давление или объём | pV = νRT, поиск минимального произведения pV или отношения T/V | подставлять литры и килопаскали без перевода в кубометры и паскали |
| теплоёмкость газа или КПД цикла | C = Q/ΔT, первое начало термодинамики Q = ΔU + A | забыть, что при V = const работа равна нулю, а на изобаре не равна |
| цепь с источником: в схеме амперметр или вольтметр | закон Ома для участка и для полной цепи, свойства соединений | считать, что вольтметр показывает ЭДС, или путать последовательное и параллельное соединение |
| рамка в магнитном поле, дан график B(t) | закон электромагнитной индукции, I = ε_i/R | брать саму индукцию вместо скорости её изменения |
Типичные ошибки. 1) Оптические силы и размеры подставляют в сантиметрах: дптр — это 1/м, поэтому расстояние обязано быть в метрах, иначе ответ уезжает на два порядка. 2) В задачах на газ берут литры и килопаскали «как есть»: переводить нужно обязательно, если в формуле стоит универсальная газовая постоянная. 3) Путают напряжение на элементе цепи с ЭДС источника: вольтметр показывает U = IR, а не ε, если есть внутреннее сопротивление. 4) Забывают, что идеальный амперметр имеет нулевое сопротивление и не меняет схему, а идеальный вольтметр — бесконечное и ток через него не идёт. 5) В заданиях на индукцию вместо скорости изменения потока подставляют значение индукции в момент времени. 6) При вычислении КПД или теплоёмкости путают проценты и доли, а также забывают, что КПД — безразмерная величина.
Проверь себя
- Почему в формулу тонкой линзы нельзя подставлять расстояние в сантиметрах, а оптическую силу в диоптриях можно использовать сразу?
- Что означает постоянная оптическая сила D = 5 дптр для фокусного расстояния линзы?
- Почему при постоянном объёме теплоёмкость газа можно найти прямо по графику внутренней энергии?
- Чем закон Ома для полной цепи отличается от закона Ома для участка и когда нужен каждый из них?
- Какое сопротивление считают идеальный амперметр и идеальный вольтметр и как это влияет на схему?
- Почему ЭДС индукции зависит от скорости изменения магнитного потока, а не от самого потока?
Показательные решения
- Что дано: оптическая сила линзы D = 5 дптр, предмет высотой H = 9 см = 0,09 м стоит на расстоянии d = 0,5 м от линзы. Найти высоту изображения h.
- Переводим оптическую силу в фокусное расстояние: F = 1/D = 1/5 дптр = 0,2 м. Диоптрия — это 1/м, поэтому фокусное расстояние сразу получается в метрах.
- Закон: формула тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f. Выражаем расстояние до изображения: f = F·d/(d − F) = (0,2 м · 0,5 м)/(0,5 м − 0,2 м) = 0,1/0,3 м ≈ 0,333 м.
- Второй инструмент — подобие треугольников: высоты относятся так же, как расстояния от линзы, то есть h/H = f/d, откуда h = H·f/d = H·F/(d − F).
- Подставляем числа: h = (0,09 м · 0,2 м)/(0,5 м − 0,2 м) = 0,018/0,3 м = 0,06 м.
- Проверяем размерность: м · м/м = м — верно. Правдоподобие: предмет стоит дальше двойного фокусного расстояния (0,5 м > 0,4 м), значит, изображение действительное и уменьшенное, h < H — так и вышло. Ответ: 0,06 м.
Ответ: 0,06 м
Официальное решение из банка ФИПИ
Определим сначала величину фокусного расстояния линзы: F = 1/D = 1/5дптр = 0,2 м. Используя формулу тонкой линзы, определим, на каком расстоянии от линзы будет располагаться объект: 1/F = 1/d + 1/f ⇔ f = (Fd)/(d − F). Из рисунка видно, что высота изображения карандаша h связана с высотой самого карандаша H и расстояниями f и d соотношением (подобие треугольников): h = H f/d = (HF)/(d − F) = (0,09 м · 0,2 м)/(0,5 м − 0,2 м) = 0,06 м. Ответ: 0,06 м.
- Что дано: порцию газа нагревают при постоянном объёме; по графику зависимости внутренней энергии от температуры при T = 400 К значение U = 6,0 кДж, при T = 600 К — U = 9,0 кДж. Найти теплоёмкость этой порции газа в данном процессе.
- Закон: теплоёмкость — отношение переданной теплоты к изменению температуры, C = Q/ΔT.
- Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A. При постоянном объёме газ работы не совершает (A = 0), поэтому вся теплота идёт на изменение внутренней энергии и C = ΔU/ΔT.
- Берём на графике две удобные точки: ΔT = 600 К − 400 К = 200 К, ΔU = 9,0 кДж − 6,0 кДж = 3,0 кДж = 3000 Дж.
- Подставляем: C = 3000 Дж/200 К = 15 Дж/К.
- Проверяем размерность (Дж/К) и правдоподобие: для одного моля одноатомного газа C_V = 1,5R ≈ 12,5 Дж/К, значит, порядок величины разумный. Ответ: 15 Дж/К.
Ответ: 15 Дж/К
Официальное решение из банка ФИПИ
Теплоемкостью фиксированной порции газа в некотором процессе называется отношение переданного газу тепла к изменению его температуры: C = Q/Δ T. Согласно первому началу термодинамики, переданного газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на работу против внешних сил: Q = Δ U + A. Поскольку, согласно условию, газ нагревают при постоянном объеме, он не совершает работы, а значит, все тепло идет на изменение внутренней энергии. Таким образом, C = Δ U/Δ T. Рассмотрев любые две точки на графике получаем численное значение для искомой величины: C = (9,0 кДж − 6,0 кДж)/(600 К − 400 К) = 15 Дж/К. Ответ: 15 Дж/К.
- Что дано: источник с внутренним сопротивлением r = 1 Ом; резисторы R₁ = 3 Ом, R₂ = 1 Ом, R₃ = 5 Ом; идеальный амперметр в ветви с R₁ показывает 1 А. Найти ЭДС источника ε.
- Как устроена цепь: R₁ и R₂ соединены параллельно, а R₃ — последовательно с этим участком. Идеальный амперметр имеет нулевое собственное сопротивление, поэтому схему он не меняет.
- При параллельном соединении напряжения на ветвях равны: I₁R₁ = I₂R₂, откуда I₂ = I₁R₁/R₂ = (1 А · 3 Ом)/1 Ом = 3 А.
- Полный ток цепи равен сумме токов ветвей: I = I₁ + I₂ = 1 А + 3 А = 4 А. Сопротивление нагрузки R = R₃ + R₁R₂/(R₁ + R₂) = 5 Ом + (3 Ом · 1 Ом)/(4 Ом) = 5,75 Ом.
- Закон Ома для полной цепи: ε = I(R + r) = 4 А · (5,75 Ом + 1 Ом) = 27 В.
- Проверка размерности: А·Ом = В — верно. Правдоподобие: ЭДС 27 В больше падения напряжения на нагрузке (4 А · 5,75 Ом = 23 В), как и должно быть из-за потерь на внутреннем сопротивлении. Ответ: 27 В.
Ответ: 27 В
Официальное решение из банка ФИПИ
Идеальный амперметр имеет нулевое собственное сопротивление, то есть своим присутствием он не вносит возмущения в электрическую схему. Согласно закону Ома для полной цепи, = I (R + r), где I — полный ток в цепи, а R — полное сопротивление нагрузки. Резисторы R₁ и R₂ соединены параллельно, резистор R₃ подключен к ним последовательно. Следовательно, полное сопротивление нагрузки равно: R = R₃ + (R₁ R₂)/(R₁ + R₂) = 5 Ом + (3 Ом · 1 Ом)/(3 Ом + 1 Ом) = 5,75 Ом. При параллельном соединении токи складываются, а напряжения совпадают. Используя закон Ома для участка цепи U = IR, находим ток через резистор R₂: I₁R₁ = I₂R₂, I₂ = I₁ R₁/R₂ = 1 А 3 Ом/1 Ом = 3 А. Следовательно, полный ток в цепи равен: I = I₁ + I₂ = 1 А +³А = 4 А. Наконец, находим ЭДС источника: = 4 А · (5,75 Ом + 1 Ом) = 27 В. Ответ: 27 В.