πЕГЭ · ИИ-репетитор12 предметов · задания ФИПИ
Главная → Физика → Курс теории → №24

№24. Расчётная задача высокого уровня: многошаговые задачи и термодинамические циклы

В задании №24 одного закона почти всегда мало: нужно применить два-три закона подряд, связать этапы процесса и аккуратно провести вычисления. Здесь ценятся и физика, и алгебра — и главное, умение разбить задачу на части.

Задание высокого уровня отличается не сложностью формул, а их количеством. Типичные сюжеты: цикл на диаграмме p–V с поиском работы, теплоты или КПД; процесс, в котором давление пропорционально объёму; поршень с трением, который сначала стоит, а потом движется; система тел с энергетическими превращениями. Решение всегда разбивается на шаги, и каждый шаг опирается на свой закон.

Q = ΔU + A · U = (3/2)νRT = (3/2)pV · A = pΔV · A = площадь под графиком p(V) · pV = νRT

Две идеи решают почти все задачи на циклы. Первая: работа газа численно равна площади под графиком на диаграмме p–V (со знаком плюс при расширении и минус при сжатии), а за цикл по часовой стрелке работа положительна. Вторая: внутренняя энергия одноатомного газа равна (3/2)pV, поэтому изменение внутренней энергии удобно считать через разность произведений pV, не находя температуры. Если процесс идёт при постоянном давлении, работу удобно выражать через изменение температуры: A = νRΔT.

Типичные ошибки. 1) Считают изменение внутренней энергии через разность температур, хотя проще и надёжнее через разность произведений pV: ΔU = (3/2)(p₂V₂ − p₁V₁). 2) Забывают знак работы: при сжатии работа газа отрицательна, а работа внешних сил положительна, и модули у них равны. 3) Считают работу на изохоре ненулевой или, наоборот, приписывают работу процессу, где объём не менялся на глаз, но по графику меняется. 4) Находят площадь под графиком как прямоугольник, хотя фигура — трапеция или треугольник. 5) Не учитывают, что поршень с трением начинает двигаться только при определённом давлении, поэтому процесс состоит из двух участков. 6) Округляют универсальную газовую постоянную до 8 или теряют множитель 3/2 у одноатомного газа.

Проверь себя

  1. Почему изменение внутренней энергии одноатомного газа удобно считать через разность произведений pV, а не через разность температур?
  2. Как по графику на диаграмме p–V определить работу газа на участке и её знак?
  3. Чему равна работа газа на изохоре и почему?
  4. Почему в цикле суммарное изменение внутренней энергии равно нулю и как это используется при поиске работы?
  5. Как понять, что поршень с трением начнёт двигаться лишь при определённом давлении?
  6. В каких единицах нужно подставлять объём и давление в уравнение состояния и почему?

Показательные решения

Разбор из банка: нагрев газа, когда давление растёт пропорционально объёму
Один моль одноатомного идеального газа переводят из состояния 1 в состояние 2 таким образом, что в ходе процесса давление газа возрастает прямо пропорционально его объему. В результате плотность газа уменьшается в α = 2 раза. Газ в ходе процесса получает количество теплоты Q = 20 кДж. Какова температура газа в состоянии 1?
Решение по шагам
  1. Что дано: ν = 1 моль одноатомного идеального газа; по графику давление растёт прямо пропорционально объёму (прямая выходит из начала координат), значит p₂/p₁ = V₂/V₁; плотность газа уменьшилась в α = 2 раза; газу сообщили Q = 20 кДж = 2·10⁴ Дж. Найти начальную температуру T₁.
  2. Масса газа не меняется, поэтому уменьшение плотности в 2 раза означает увеличение объёма в 2 раза: V₂/V₁ = 2. Из пропорциональности давления и объёма произведение растёт как квадрат: p₂V₂/(p₁V₁) = (V₂/V₁)² = α² = 4.
  3. Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A. Для одноатомного газа U = (3/2)νRT = (3/2)pV, поэтому ΔU = (3/2)(p₂V₂ − p₁V₁).
  4. Работа газа равна площади под графиком процесса на диаграмме p–V. Так как p пропорционально V, эта площадь равна A = (p₂V₂ − p₁V₁)/2.
  5. Складываем: Q = (3/2)(p₂V₂ − p₁V₁) + (1/2)(p₂V₂ − p₁V₁) = 2(p₂V₂ − p₁V₁) = 2νRT₁(α² − 1).
  6. Выражаем и считаем: T₁ = Q/(2νR(α² − 1)) = 2·10⁴ Дж/(2 · 1 моль · 8,31 Дж/(моль·К) · 3) = 2·10⁴/49,86 ≈ 401 К.
  7. Проверка размерности: Дж : (моль · Дж/(моль·К)) = К — верно; 400 К — это около 127 °С, для нагрева газа правдоподобно. Ответ: T₁≈ 400 К.

Ответ: T₁≈ 400 К

Официальное решение из банка ФИПИ

1. Изобразим процесс на pV-диаграмме и обозначим давления и объемы газа в состояниях 1 и 2 через (p1, V₁) и (p2, V₂) соответственно. Температуру газа в состоянии 1 обозначим через T1, а в состоянии 2 — через T2. 2. Из первого закона термодинамики следует, что полученное газом количество теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа и на совершение им работы: Q = Δ U + A. 3. Используем термодинамическую модель одноатомного идеального газа: система: pV = ν RT,U = 3/2 ν RT. Изменение его внутренней энергии равно Δ U = 3/2 ν R (T₂ − T₁) = 3/2 (p₂V₂ − p₁V₁). 4. Совершенная газом работа численно равна площади трапеции под графиком процесса на pV-диаграмме, то есть разности площадей треугольников: A = 1/2 (p₂V₂ − p₁V₁). 5. С учетом этого получаем Q = Δ U + A = 2 (p₂V₂ − p₁V₁). Из графика процесса следует, что: p₂/p₁ = V₂/V₁. Поэтому: p₂V₂/P₁V₁ = (V₂/V₁)² и выражение для количества теплоты делает вид: Q = 2p₁V₁ ((V² ₂)/(V₁²) − 1) = 2 ν RT₁ (V₂²/V₁² − 1). 6. Заметим, что искомое отношение плотностей газа массой m в состояниях 1 и 2 равно: α = ρ₁/ρ₂ = (m/V₁)/(m/V₂) = V₂/V₁. Поэтому: Q = 2 ν RT₁ (V₂²/V₁² − 1) = 2 ν RT₁ (α² − 1), откуда: T₁ = (Q)/(2 ν R (α² − 1)). Подставляя в полученную формулу данные, находим T₁ = (20·10³)/(2 · 1 · 8,31 · (4 − 1)) ≈ 400 К. Ответ: T₁≈ 400 К.

Разбор из банка: цикл с адиабатой, где нужно найти работу сжатия
Над одноатомным идеальным газом проводится циклический процесс, показанный на рисунке. На участке 1–2 газ совершает работу A₁₂ = 1000 Дж. Участок 3–1 — адиабата. Количество теплоты, отданное газом за цикл холодильнику, равно |Q_х_о_л| = 3370 Дж. Количество вещества газа в ходе процесса не меняется. Найдите работу |A₃₁| газа на адиабате.
Решение по шагам
  1. Что дано: замкнутый цикл 1–2–3–1 с одноатомным идеальным газом. По графику в состоянии 1 давление p₀ и объём V₀, в состоянии 2 — 2p₀ и 2V₀, участок 2–3 изохорный, участок 3–1 — адиабата. Работа газа на участке 1–2 равна площади трапеции A₁₂ = 1000 Дж, за цикл газ отдаёт холодильнику |Q_хол| = 3370 Дж. Найти модуль работы внешних сил при сжатии на участке 3–1.
  2. Разбираем участки: на 1–2 газ расширяется и получает теплоту; на 2–3 объём постоянен, работа равна нулю, температура падает — газ отдаёт теплоту; на 3–1 адиабата, теплообмена нет вовсе.
  3. Изменение внутренней энергии на первом участке: ΔU₁₂ = (3/2)(p₂V₂ − p₁V₁) = (3/2)(2p₀ · 2V₀ − p₀V₀) = (9/2)p₀V₀. Площадь трапеции A₁₂ = ((p₀ + 2p₀)/2)·(2V₀ − V₀) = (3/2)p₀V₀ = 1000 Дж, поэтому ΔU₁₂ = 3A₁₂ = 3000 Дж.
  4. Теплота, полученная газом на участке 1–2: Q_нагр = A₁₂ + ΔU₁₂ = 1000 Дж + 3000 Дж = 4000 Дж.
  5. Первое начало термодинамики для всего цикла: внутренняя энергия возвращается к прежнему значению (ΔU = 0), поэтому Q_нагр − |Q_хол| = A₁₂ + A₂₃ + A₃₁, где A₂₃ = 0, а A₃₁ — работа газа при сжатии, отрицательная.
  6. Тогда |A₃₁| = A₁₂ − (Q_нагр − |Q_хол|) = 1000 Дж − (4000 Дж − 3370 Дж) = 370 Дж.
  7. Проверка: работа сжатия 370 Дж меньше работы расширения 1000 Дж, поэтому за цикл газ совершает полезную работу 630 Дж, и это ровно разность подведённой и отведённой теплоты — баланс сходится. Ответ: 370 Дж.

Ответ: 370 Дж

Официальное решение из банка ФИПИ

Согласно первому началу термодинамики, переданное газу тепло идет на изменение его внутренней энергии и на совершение работы против внешних сил: Q = Δ U + A. Исследуем все участки цикла по отдельности. На участке 1–2 газ расширяется, совершая положительную работу A₁₂ > 0, кроме того его температура растет, а значит, Δ U₁₂ = 3/2 ν R Δ T > 0 и Q₁₂ > 0, следовательно, газ получает тепло. На участке 2–3 объем газа не изменяется, давление, а значит, и температура газа уменьшаются. Поэтому A₂₃ = 0, Δ U₂₃ < 0, Q₂₃ < 0. Следовательно, газ отдает тепло холодильнику. Участок 3–1, по условию, представляет собой адиабату, на этом участке газ не обменивается теплом с окружающей средой. Таким образом, все тепло, получаемое газом за цикл, передается ему на участке 1–2, а все тепло, отдаваемое им за цикл, отдается на участке 2–3. Применим первое начало к участку 1–2: Q_нагр = A₁₂ + Δ U₁₂. Работе газа на диаграмме p − V соответствует площадь под графиком процесса: A₁₂ = 1/2 (p₀ +²p₀) V₀ = 3/2 p₀V₀. Используя уравнение Клаперойна — Менделеева pV = ν RT, для изменения внутренней энергии на участке 1–2 имеем: Δ U₁₂ = 3/2 ν RΔ T = 3/2 Δ (pV) = 3/2 (2p₀₂V₀ − p₀ v ₀) = 9/2 p₀V₀ = 3A₁₂. Применим теперь первое начало ко всему процессу в целом. Так как он представляет собой замкнутый цикл, то изменение внутренней энергии за весь процесс равно нулю. Работу газа за цикл можно найти как разность работ на участках 1–2 и 3–1: Q_нагр − |Q_х_о_л| = A₁₂ − |A₃₁| ⇔ ⇔ |A₃₁| = A₁₂ − Q_нагр + |Q_х_о_л| = A₁₂ − A₁₂ − Δ U₁₂ + |Q_х_о_л| = − Δ U₁₂ + |Q_х_о_л| = −³A₁₂ + |Q_х_о_л| = −³ · 1000 Дж + 3370 Дж = 370 Дж. Ответ: 370 Дж.

Разбор из банка: поршень с трением, который сдвигается не сразу
В горизонтальном цилиндрическом сосуде, закрытом поршнем, находится одноатомный идеальный газ. Первоначальное давление газа p = 4 · 105 Па. Расстояние от дна сосуда до поршня равно L. Площадь поперечного сечения поршня S = 25 см2. В результате медленного нагревания газ получил количество теплоты Q = 1,65 кДж, а поршень сдвинулся на расстояние x = 10 см. При движении поршня на него со стороны стенок сосуда действует сила трения величиной Fтр = 3 · 103 Н. Найдите L. Считать, что сосуд находится в вакууме.
Решение по шагам
  1. Что дано: горизонтальный цилиндр с одноатомным газом (снаружи вакуум), площадь поршня S = 25 см² = 2,5·10⁻³ м², начальное давление p₁ = 4·10⁵ Па, сила трения поршня о стенки F_тр = 3000 Н, после нагрева поршень сместился на x = 0,1 м, газу сообщили Q = 1650 Дж. Найти начальную длину цилиндра L.
  2. Поршень сдвинется, только когда давление газа достигнет p₂ = F_тр/S = 3000 Н/2,5·10⁻³ м² = 1,2·10⁶ Па. Это больше p₁, значит, нагрев идёт в два этапа: сначала изохорно растёт давление (поршень стоит), затем изобарно растёт объём.
  3. Первое начало термодинамики для всего процесса: Q = (U₃ − U₁) + p₂Sx, где p₂Sx = F_тр·x — работа газа против силы трения.
  4. Внутренняя энергия одноатомного газа: U₁ = (3/2)p₁SL, а в конечном состоянии U₃ = (3/2)p₂S(L + x) = (3/2)F_тр(L + x).
  5. Подставляем и приводим подобные: Q = (3/2)(F_тр − p₁S)L + (5/2)F_тр·x, откуда L = (Q − (5/2)F_тр·x)/((3/2)(F_тр − p₁S)).
  6. Считаем: p₁S = 4·10⁵ Па · 2,5·10⁻³ м² = 1000 Н; L = (1650 Дж − 2,5 · 3000 Н · 0,1 м)/(1,5 · (3000 Н − 1000 Н)) = (1650 − 750)/3000 = 0,3 м.
  7. Проверка размерности: Дж : Н = (Н·м) : Н = м — верно; длина цилиндра 30 см правдоподобна. Ответ: L = 0,3 м.

Ответ: L = 0,3 м

Официальное решение из банка ФИПИ

1. Поршень будет медленно двигаться, если сила давления газа на поршень и сила трения со стороны стенок сосуда уравновесят друг друга: p₂S = Fтр, откуда p₂ = F_тр/S = 12·10⁵ Па > p₁. (p₁ = p). 2. Поэтому при нагревании газа поршень будет неподвижен, пока давление газа не достигнет значения р2. В этом процессе газ получает количество теплоты Q12. Затем поршень будет сдвигаться, увеличивая объем газа, при постоянном давлении. В этом процессе газ получает количество теплоты Q23. 3. В процессе нагревания, в соответствии с первым началом термодинамики, газ получит количество теплоты: Q = Q₁₂ + Q₂₃ = (U₃ − U₁) + p₂Sx = (U₃ − U₁) + F_трx. 4. Внутренняя энергия одноатомного идеального газа: U₁ = 3/2 ν RT₁ = 3/2 p₁SL в начальном состоянии, U₃ = 3/2 ν RT₃ = 3/2 p₂S (L + x) = 3/2 F_тр (L + x) в конечном состоянии. 5. Из пп. 3, 4 получаем L = (Q − 5/2 F_трx)/(3/2 (F_тр − p₁S)) = (1650 − 2,5 · 3000 · 0,1)/(1,5 · (3000 − 400000 · 0,0025)) = 0,3 м. Ответ: L = 0,3 м.

Открыть раздел в тренажёре

← Все разделы курса по физике · Решать задания №24