№25. Расчётная задача высокого уровня: поля, цепи, индукция и оптика
Задание №25 — задача высокого уровня на 3 балла: равновесие в электрическом и магнитном поле, цепь с конденсатором, движение в магнитном поле, индукция или преломление света. Формулы знакомые, но применить их нужно в нестандартной комбинации.
Задание №25 отличается тем, что в нём всегда есть лишний шаг: сначала нужно найти промежуточную величину (напряжение, напряжённость, силу натяжения, угол преломления), и только потом искомую. Поэтому схема решения такая: что дано → промежуточный закон → промежуточная величина → основной закон → рабочая формула в буквах → подстановка чисел в СИ → проверка размерности и правдоподобия → ответ.
E = U/d · F = qE · F_А = IBL · F_Л = qvB · ε_i = |ΔΦ/Δt| · n = sin α / sin γ
Разберём типичные сюжеты. В электрическом поле шарик на нити находится в равновесии, поэтому условия равновесия записывают в проекциях на две оси, а напряжённость связывают с напряжением: E = U/d. В цепи с конденсатором помни главное: постоянный ток через конденсатор не течёт, поэтому он не меняет сопротивления цепи, а напряжение на нём равно напряжению параллельного участка. Сила Ампера F_А = IBL и сила Лоренца F_Л = qvB направляются по правилу левой руки, и от направления зависит, складываются они с силой тяжести или вычитаются. В задачах на индукцию ЭДС равна скорости изменения магнитного потока, а в оптике всё держится на законе преломления и геометрии: длину тени или изображения находят через тангенс угла.
- Шаг 1. Выпиши данные и переведи в СИ: мкКл и мкФ в степени десяти, мм и см в метры, кВ/м в В/м, минуты в секунды.
- Шаг 2. Сделай чертёж: расставь силы (тяжести, реакции, упругости, электрическую, Ампера, Лоренца) или нарисуй ход лучей.
- Шаг 3. Определи промежуточную величину: ток, напряжение, напряжённость, силу натяжения, угол преломления.
- Шаг 4. Запиши основные законы в буквах: условия равновесия или второй закон Ньютона в проекциях, закон Ома, закон преломления.
- Шаг 5. Получи рабочую формулу: искомая величина слева, известные — справа.
- Шаг 6. Подставь числа с единицами и посчитай по действиям, следя за степенями десяти.
- Шаг 7. Проверь размерность (например, Н : (м·Тл) даёт амперы) и правдоподобие ответа, затем запиши его с единицами.
Типичные ошибки. 1) Считают напряжение на конденсаторе равным ЭДС источника: в цепи с внутренним сопротивлением это неверно, конденсатор заряжается до напряжения своего участка. 2) Забывают, что через конденсатор постоянный ток не идёт, и «шунтируют» им резистор при расчёте общего сопротивления. 3) Теряют множитель 1/2 в энергии конденсатора: W = qU/2, а не qU. 4) Путают синус и косинус в проекциях: горизонтально направленная сила Ампера даёт вдоль наклонной плоскости проекцию с косинусом угла наклона. 5) Неверно определяют направление силы Лоренца и складывают её с силой тяжести там, где она направлена вверх. 6) В оптике подставляют в геометрию угол падения вместо угла преломления и путают миллиметры с метрами.
Проверь себя
- Почему напряжение на конденсаторе в цепи с источником не равно ЭДС?
- Как меняется сопротивление цепи при добавлении конденсатора и почему?
- Чему равна энергия заряженного конденсатора и откуда берётся множитель 1/2?
- Почему горизонтальная сила Ампера даёт вдоль наклонной плоскости проекцию с косинусом угла наклона?
- Чем определяется направление силы Лоренца и что меняется при смене знака заряда?
- Почему при переходе от синуса угла преломления к тангенсу удобно пользоваться тождеством sin²γ + cos²γ = 1?
Показательные решения
- Что дано: источник с ЭДС ε = 24 В и внутренним сопротивлением r = 5 Ом, резистор R = 25 Ом, конденсатор с зарядом q = 2 мкКл = 2·10⁻⁶ Кл включён параллельно резистору. Ключ размыкают, и конденсатор разряжается через резистор. Найти количество теплоты Q, выделившееся на резисторе.
- Пока ключ замкнут, в цепи идёт постоянный ток, а конденсатор заряжен до напряжения того участка, параллельно которому он подключён, то есть до напряжения на резисторе. Это первый промежуточный шаг.
- Закон Ома для полной цепи: I = ε/(R + r) = 24 В/(25 Ом + 5 Ом) = 0,8 А.
- Закон Ома для участка цепи: U = IR = 0,8 А · 25 Ом = 20 В. Именно до 20 В (а не до 24 В) заряжен конденсатор.
- После размыкания ключа конденсатор разряжается только через резистор, поэтому вся энергия электрического поля переходит в теплоту: Q = W = qU/2.
- Считаем: Q = (2·10⁻⁶ Кл · 20 В)/2 = 2·10⁻⁵ Дж = 20 мкДж.
- Проверка размерности: Кл · В = Дж — верно; для заряда в микрокулонах энергия в микроджоулях правдоподобна. Ответ: Q = 20мкДж.
Ответ: Q = 20мкДж
Официальное решение из банка ФИПИ
Количество теплоты, выделяющееся на резисторе после размыкания ключа, равно энергии, накопленной конденсатором: Q = W_C = qU/2. Напряжение на конденсаторе U = падению напряжения на резисторе. С учетом закона Ома для полной цепи I = /(R + r) и закона Ома для участка цепи I = U/R получаем: U = IR = (R)/(r + R). Комбинируя эти формулы, находим: Q = (q R)/(2 (r + R)) = (2·10⁻⁶ · 24 · 25)/(2 · (25 + 5)) = 20мкДж. Ответ: Q = 20мкДж.
- Что дано: стержень массой m = 0,1 кг и длиной L = 0,2 м лежит на наклонной плоскости с углом α = 30° в магнитном поле с индукцией B = 1 Тл; ток перпендикулярен вектору индукции, а сила Ампера направлена горизонтально; стержень движется вверх по плоскости с ускорением a = 1,9 м/с². Найти силу тока I.
- Расставляем силы: сила тяжести mg вниз, сила реакции опоры N перпендикулярно плоскости, сила Ампера F_А горизонтально. Ось направляем вдоль плоскости вверх, по направлению движения.
- Модуль силы Ампера: F_А = IBL sin β, где β — угол между направлением тока и вектором индукции; по условию β = 90°, значит F_А = IBL.
- Второй закон Ньютона в проекции на ось вдоль плоскости: ma = −mg sin α + IBL cos α. Сила Ампера горизонтальна, поэтому вдоль плоскости она даёт проекцию с косинусом угла наклона.
- Выражаем ток: I = m(a + g sin α)/(LB cos α).
- Подставляем числа: sin 30° = 0,5, cos 30° ≈ 0,866; I = (0,1 кг · (1,9 м/с² + 10 м/с² · 0,5))/(0,2 м · 1 Тл · 0,866) = 0,69/0,1732 ≈ 4 А.
- Проверка размерности: Н : (м · Тл) = Н · А · м/(м · Н) = А, так как 1 Тл = 1 Н/(А·м) — верно. Ответ: I≈ 4 А.
Ответ: I≈ 4 А
Официальное решение из банка ФИПИ
1. На рисунке показаны силы, действующие на стержень с током: — сила тяжести mḡ, направленная вертикально вниз; — сила реакции опоры N̄, направленная перпендикулярно к наклонной плоскости; — сила Ампера F̄_А, направленная горизонтально вправо, что вытекает из условия задачи. 2. Модуль силы Ампера F_А = IBL sin β, где угол между направлением тока и вектором магнитной индукции sin β = 1. 3. Систему отсчета, связанную с наклонной плоскостью, считаем инерциальной. Для решения задачи достаточно записать второй закон Ньютона N̄ + F̄_A + m ḡ = m ā. В проекциях на ось х (см. рис.): ma = − mg sin α + IBL cos α. Отсюда находим I = (m (a + g sin α))/(LB cos α) = (0,1 · (1,9 + 10 · sin 30 °))/(0,2 · cos 30 °) ≈ 4 А. Ответ: I≈ 4 А.
- Что дано: солнечный луч падает на поверхность воды под углом α = 30° (sin α = 0,5), показатель преломления воды n = 4/3 ≈ 1,33, высота сваи h = 2 м. Найти длину тени L на дне.
- Какой закон: закон преломления света sin α / sin γ = n. Именно угол преломления γ определяет, куда пойдёт луч в воде, а значит, и размер тени.
- Находим промежуточную величину — синус угла преломления: sin γ = sin α/n = 0,5/(4/3) = 0,375.
- Из геометрии длина тени равна L = h·tg γ, поэтому от синуса переходим к тангенсу: tg γ = sin γ/√(1 − sin²γ) = 1/√(4n² − 1).
- Считаем: 4n² − 1 = 4 · (16/9) − 1 = 55/9, значит tg γ = 3/√55 ≈ 0,4045.
- Тогда L = h·tg γ = 2 м · 0,4045 ≈ 0,81 м, то есть L≈ 0,8 м.
- Проверка: тень короче самой сваи, потому что лучи входят в воду под углом и идут вниз почти вертикально. Ответ: L≈ 0,8 м.
Ответ: L≈ 0,8 м
Официальное решение из банка ФИПИ
Согласно рисунку, длина тени L определяется высотой сваи h и углом γ между сваей и скользящим по ее вершине лучом света: L = h · tg γ. Этот угол является и углом преломления солнечных лучей на поверхности воды. Согласно закону преломления (sin α)/(sin γ) = n, sin γ = (sin α)/(n) = 1/2n, tg γ = (sin γ)/(√(1 − sin² γ)) = 1/(√(4n² − 1)). Следовательно, L = h 1/(√(4n² − 1)) = (2)/(√(4 · 16/9 − 1)) = (6)/(√(55)) ≈ 0,8 м. Ответ: L≈ 0,8 м.