№26. Расчётная задача с обоснованием: как писать обоснование и оформлять решение

Обоснование. Систему отчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Для данной системы отсчета можно применить законы Ньютона (в частности, третий закон). Тело, образованное стержнем и двумя шарами, будем считать абсолютно твердыми. Движение абсолютно твердого тела представляет собой суперпозицию поступательного и вращательного движений, поэтому для него можно применить условие равновесия для поступательного движения и правило моментов. Векторная сумма всех внешних сил, действующих на тело, равна нулю, поэтому сумма моментов этих сил относительно двух любых его параллельных осей одна и таже. Для удобства ось, относительно которой будем рассматривать сумму моментов сил, проведем перпендикулярно плоскости чертежа через точку А. Перейдем к решению. На твердое тело, образованное стержнем и двумя шарами, действуют силы тяжести m₁ḡ и m₂ḡ, приложенные к центрам шаров, и силы реакции опор N̄₁ и N̄₂. По третьему закону Ньютона, модули сил реакции равны соответствующим модулям сил давления стержня на опоры, поэтому N₂ = 2N₁ (в соответствии с условием задачи). В инерциальной системе отсчета Oxy, связанной с Землей, условия равновесия твердого тела приводят к набору уравнений: N₁ + N₂ − m₁g − m₂g = 0 — центр масс не движется вдоль оси Oy. N₁x + N₂ (l + x) − m₂gL = 0 — нет вращения вокруг оси, проходящей перпендикулярно рисунку через точку A. Здесь x = AC = 0,2 м — плечо силы реакции N1. С учетом условия N₂ = 2N₁ уравнения приводятся к виду: 3N₁ = (m₁ + m₂) g, (3x +²l) N₁ = m₂gL. Поделив второе уравнение на первое, получим: L (m₂)/(m₁ + m₂) = x + 2/3 l. Откуда: L = (1 + m₁/m₂) · (x + 2/3 l) = (1 + (0,2 кг)/(0,3 кг)) · (0,2 м + 2/3 · 0,6 м) = 1 м. L = (1 + m₁/m₂) · (x + 2/3 l) = (1 + (0,2 кг)/(0,3 кг)) · (0,2 м + 2/3 · 0,6 м) = 1 м. Ответ: 1 м.

Обоснование. Cистему отсчета, связанную с горизонтальной поверхностью, будем считать инерциальной. Брусок и массивная доска движутся поступательно. Поэтому их можно считать материальными точками. На брусок действуют силы тяжести, натяжения нити, реакции опоры и трения между бруском и доской. На доску действуют горизонтальная сила, сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения между бруском и доской, вес бруска. В инерциальной системе отсчета, связанной с горизонтальной поверхностью, можно применить второй и третий законы Ньютона. Перейдем к решению. 1. Доска движется с постоянной скоростью — это значит, что равнодействующая всех сил, действующих на нее, равна нулю: m₁ḡ + F̄_тр + P̄₂ + F̄ + N̄₁ = 0. В проекции на горизонтальную ось: F − F_тр = 0, откуда F_тр = F. (1) 2. Брусок неподвижен — это значит, что равнодействующая всех сил, действующих на него, равна нулю: mḡ + F̄_тр + T̄ + N̄₂ = 0. В проекции на горизонтальную ось: F_тр − T sin α = 0, следовательно, T = (F_тр)/(sin α) (1) = (F)/(sin α) = 2F. (2) В проекции на вертикальную ось: T cos α + N − mg = 0, значит, N = mg − T cos α. (3) Сила трения скольжения равна F_тр = μ N. Подставляя выражения из (1), (2) и (3), получаем: F = μ (mg − T cos α) = μ (mg −²F cos α), откуда получаем: F = (μ mg)/(1 +² μ cos α) = (0,2 · 1 · 10)/(1 +² · 0,2 · 0,87) = 1,5 Н. Ответ: 1,5 Н.

Обоснование. Систему отсчета, связанную с Землей, будем считать инерциальной. Грузы и блоки движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками. Поэтому для каждого тела из представленной системы можно записать второй закон Ньютона. Учитывая, что нити в данных условиях невесомы, силы натяжения, действующие на тела и блоки, возникающие в одной нити, равны по модулю. Так как нити нерастяжимы, а сила трения в блоках и сила сопротивления воздуха отсутствует, то можно записать кинематические связи между ускорениями тел, составляющих систему. Перейдем к решению. 1. Изобразим систему, нарисовав силы, действующие на ее тела, и введя вертикальную ось координат x, направленную вниз (см. рис.). Силу натяжения второй нити обозначим через T2. Как следует из условия, силы натяжения нитей по обе стороны каждого из блоков одинаковы, и T₁ = 2T₂. 2. Запишем уравнения движения системы (2-й закон Ньютона) в проекции на ось x: m₁g − T₁ = m₁a₁; m₂g − T₂ = m₂a₂; m₃g − T₂ = m₃a₃. 3. Условие нерастяжимости обеих нитей может быть записано с использованием постоянства их длин, что приводит к уравнению 2x₁ + x₂ + x₃ = const, откуда получаем уравнение кинематической связи: 2a₁ + a₂ + a₃ = 0. 4. Поскольку по условию m₂ = m₃, то и ускорения этих грузов одинаковы: a₂ = a₃ = − a₁. Складывая уравнения движения этих грузов, получаем: 2m₂g − T₁ = −²m₂a₁, то есть можно считать, что справа просто подвешен груз массой 2m2. 5. Деля первое уравнение движения на m1, а последнее на 2m₂ и затем складывая их, получаем: g − T₁/m₁ + g − T₁/2m₂ = 0, откуда: T₁ = (4m₁m₂g)/(m₁ +²m₂) = (4 · 3 · 2 · 10)/(3 +² · 2) = 240/7 ≈ 34,3 Н. Ответ: T₁ = (4m₁m₂g)/(m₁ +²m₂) ≈ 34,3 Н.