№3. Импульс: закон сохранения импульса

Начнём с определения. Импульс тела — это произведение массы на скорость: p = mv. Импульс — величина векторная, его направление совпадает с направлением скорости, а единица измерения — килограмм-метр в секунду (кг·м/с). Смысл этой величины такой: при одинаковой скорости тяжёлое тело «толкает» сильнее, а при одинаковой массе сильнее толкает то, которое движется быстрее. Второй величиной в этой теме служит импульс силы: произведение силы на время её действия, F·Δt, измеряется в ньютон-секундах (Н·с). Ньютон-секунда и килограмм-метр в секунду — это одна и та же единица, просто записанная по-разному: 1 Н·с = 1 кг·м/с.

p = mv · импульс силы: F·Δt = Δp = mv − mv₀ · единицы: кг·м/с = Н·с

Запись F·Δt = Δp — это второй закон Ньютона в импульсной форме. Она удобнее обычной F = ma, когда сила действует короткое время и меняется: удар, толчок, выстрел. Главное следствие: чтобы сильно изменить импульс, можно либо приложить большую силу, либо действовать дольше. Именно поэтому при аварийном торможении опасен не только большой импульс, но и малое время его гашения.

Теперь самое важное для заданий этой позиции: импульс складывают как вектор, а не как число. Если два тела движутся в одну сторону, модули складываются. Если навстречу — модули вычитаются, и направление суммы определяется большим импульсом. Если направления взаимно перпендикулярны, сумма находится по теореме Пифагора: p = √(p₁² + p₂²), потому что перпендикулярные векторы образуют прямоугольный треугольник. Импульс отдельного тела при этом считают по формуле p = mv, а по рисунку масштаб переводят в единицы импульса: число клеток умножают на цену одной клетки.

сонаправлены: p = p₁ + p₂ · противоположно: p = |p₁ − p₂| · перпендикулярно: p = √(p₁² + p₂²)

Закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов тел замкнутой системы остаётся постоянной. Замкнутой называют систему, на которую не действуют внешние силы или их действие скомпенсировано. Формулировка в виде равенства: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂, где v — скорости до взаимодействия, а u — после. Очень полезная тонкость: если внешние силы есть, но действуют поперёк выбранного направления, сохраняется проекция импульса на это направление. Так, при падении камня в тележку на рельсах сила тяжести и реакция рельсов вертикальны, поэтому сохраняется только горизонтальная проекция импульса.

m₁v₁ + m₂v₂ = m₁u₁ + m₂u₂ · в проекциях на ось: сумма импульсов до = сумма импульсов после

Разберём три типовых случая. Абсолютно неупругий удар: тела после столкновения движутся вместе, как одно тело массой m₁ + m₂, поэтому m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)u. Абсолютно упругий удар: сохраняются и импульс, и кинетическая энергия — это два уравнения. Распад или взрыв: тело покоилось, значит суммарный импульс был нулём и остаётся нулём, поэтому осколки разлетаются с равными по модулю и противоположными по направлению импульсами. Отдача: ружьё и пуля, лодка и человек — в проекции на горизонталь m₁v₁ = m₂v₂, то есть чем тяжелее предмет, тем меньше его скорость.

неупругий удар: m₁v₁ = (m₁ + m₂)u · распад покоящегося тела: Σp = 0 · отдача: m₁v₁ = m₂v₂

• Импульс тела p = mv — вектор, направлен как скорость, единица измерения кг·м/с.
• Импульс силы F·Δt измеряется в Н·с, и 1 Н·с = 1 кг·м/с.
• Второй закон Ньютона в импульсной форме: F·Δt = Δp. Чем дольше действует сила, тем больше она меняет импульс.
• Для перпендикулярных импульсов модуль суммы равен √(p₁² + p₂²): импульсы 3 и 4 кг·м/с дают 5 кг·м/с.
• Закон сохранения импульса: векторная сумма импульсов замкнутой системы не меняется при любых взаимодействиях внутри системы.
• Если внешние силы есть, но их проекции на выбранную ось компенсируются, сохраняется проекция импульса на эту ось.
• Импульс и энергия — разные величины: импульс вектор, энергия скаляр, и закон сохранения импульса выполняется даже тогда, когда часть механической энергии переходит в тепло.

Типичные ошибки. 1) Складывают модули импульсов, направленных под углом друг к другу, вместо векторного сложения: для перпендикулярных направлений нужна теорема Пифагора, иначе вместо 5 кг·м/с получается 7 кг·м/с. 2) Забывают про векторность в проекциях: знак импульса ставят по направлению скорости, а не по её модулю. 3) Путают импульс с кинетической энергией: p = mv и E_к = mv²/2 — разные величины с разными единицами. 4) Применяют закон сохранения импульса, не проверив условие: если вдоль выбранного направления действует внешняя сила, проекция импульса на это направление меняется. 5) Не переводят граммы в килограммы и километры в час в метры в секунду, из-за чего единица измерения ответа перестаёт быть кг·м/с. 6) В задачах на неупругий удар делят импульс на массу только одного тела вместо суммарной массы.

• Шаг 1. Определи систему тел и направление движения каждого: импульс — вектор, поэтому начинай с чертежа и стрелок.
• Шаг 2. Переведи массы в килограммы и скорости в м/с, затем вычисли импульсы тел по формуле p = mv.
• Шаг 3. Проверь, можно ли применять закон сохранения импульса: система замкнута или внешние силы не дают проекции на нужное направление.
• Шаг 4. Сложи импульсы векторно: для перпендикулярных направлений — корень из суммы квадратов, для сонаправленных — сумму модулей.
• Шаг 5. Запиши закон сохранения в проекциях на ось: сумма импульсов до взаимодействия равна сумме импульсов после.
• Шаг 6. Реши уравнение в буквах, подставь числа и проверь единицы: кг · м/с.

Проверь себя

1. Что такое импульс тела и чем он отличается от импульса силы?
2. Почему импульс — величина векторная и как это влияет на сложение двух импульсов под прямым углом?
3. В каком направлении можно применять закон сохранения импульса, если на систему действуют внешние силы?
4. Чем отличается абсолютно неупругий удар от упругого и что сохраняется в каждом из этих случаев?
5. Тело покоилось, а затем распалось на два осколка. Чему равна векторная сумма их импульсов и почему?

Показательные решения