№4. Статика: момент силы и равновесие

Статика изучает условия, при которых тело не приобретает ускорения. Таких условий два. Первое: векторная сумма всех сил равна нулю — тело не смещается поступательно. Второе: сумма моментов всех сил равна нулю — тело не начинает вращаться. Заметь: равновесие не обязательно означает покой. По первому условию тело может двигаться равномерно и прямолинейно, по второму — равномерно вращаться; но во всех задачах этой позиции речь идёт о покоящихся рычагах и стержнях.

равновесие: ΣF = 0 и ΣM = 0 · для плоской системы достаточно уравнения моментов относительно выбранной оси

Главное понятие темы — момент силы. Момент равен произведению модуля силы на плечо: M = F·l, единица измерения — ньютон-метр (Н·м). Плечо силы l — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, то есть перпендикуляр, опущенный из оси на линию действия. Это расстояние не равно отрезку до точки приложения силы: если сила направлена под углом к стержню или приложена к наклонной тяге, плечо находится геометрически. Если линия действия силы проходит через ось вращения, плечо равно нулю и момент такой силы нулевой — например, у силы реакции опоры, приложенной в самой точке опоры.

M = F·l · [M] = Н·м · момент силы тяжести груза: M = mg·l · сила через ось: l = 0, M = 0

Отсюда правило моментов: при равновесии момент, вращающий тело по часовой стрелке, равен по модулю моменту, вращающему против часовой стрелки. Для рычага это F₁l₁ = F₂l₂ — во сколько раз плечо приложения силы больше плеча нагрузки, во столько раз меньшая сила нужна, чтобы уравновесить груз. Ось (точку), относительно которой считают моменты, выбирают удобной: если взять её в точке опоры, то сила реакции опоры в уравнение не войдёт, ведь её плечо равно нулю. Поэтому в задачах про рычаг моменты почти всегда считают относительно опоры.

Отдельно про вес стержня и центр тяжести. Сила тяжести приложена не «к стержню вообще», а к его центру тяжести: у однородного стержня это середина. Если стержень массивный, его собственный вес создаёт момент относительно опоры, и учитывать его обязательно; если в условии сказано, что стержень невесомый или лёгкий, этот момент равен нулю. Центр тяжести системы из нескольких тел находят как средневзвешенное положение: он ближе к более тяжёлому телу. Через центр тяжести проходит линия действия суммарной силы тяжести, поэтому подвешенное за эту точку тело находится в равновесии в любом положении.

однородный стержень: сила тяжести mg приложена в середине · центр тяжести системы: x = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂)

• Момент силы M = F·l, где плечо l — кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы, а не расстояние до точки приложения.
• При равновесии алгебраическая сумма моментов относительно любой точки равна нулю; знаки различают моменты, вращающие по часовой стрелке и против неё.
• Ось удобно выбирать в точке опоры: тогда неизвестная сила реакции опоры в уравнение моментов не входит.
• Правило рычага: F₁l₁ = F₂l₂; чем больше плечо, тем меньшая сила нужна, поэтому массы грузов на концах относятся как обратные плечи.
• В правило моментов подставляют силу тяжести mg, а не массу: груз 0,2 кг при g = 10 Н/кг даёт 2 Н.
• Плечи можно измерять в метрах, сантиметрах или делениях рычага, если обе части уравнения записаны в одних и тех же единицах.
• Вес самого стержня считается приложенным в его середине, а равновесие требует ещё и равенства нулю суммы всех сил.

Типичные ошибки. 1) Берут плечо от точки приложения силы или от края рычага, а не как кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы. 2) Путают массу и силу: в правило моментов подставляют килограммы вместо ньютонов. 3) Забывают про вес самого стержня, когда он не лёгкий, или, наоборот, учитывают его там, где стержень назван невесомым. 4) Считают плечи от середины рычага, а не от точки опоры, из-за чего ответ меняется в разы. 5) Складывают моменты, вращающие в разные стороны, вместо того чтобы приравнять их модули. 6) Не следят за единицами: плечи в сантиметрах, силы в ньютонах, а вопрос задан о массе, и тогда ответ нужно переводить в килограммы делением на g.

• Шаг 1. Отметь ось вращения — точку опоры: относительно неё и будешь считать моменты всех сил.
• Шаг 2. Для каждой силы найди плечо: опусти перпендикуляр из оси вращения на линию действия силы.
• Шаг 3. Определи, куда вращает каждая сила — по часовой стрелке или против, — и записывай моменты разных направлений с разными знаками.
• Шаг 4. Запиши условие равновесия: моменты «по часовой» равны моментам «против часовой».
• Шаг 5. Если стержень не невесомый, добавь момент его собственного веса, приложенного в середине стержня.
• Шаг 6. Вырази неизвестную величину в буквах, подставь числа и проверь единицы: Н · м = Н · м.

Полезно знать. В этой же позиции встречаются задания с графиком потенциальной энергии маятника. Правило там короткое: при свободных колебаниях полная механическая энергия сохраняется и равна максимуму потенциальной энергии, то есть её значению в те моменты, когда кинетическая энергия обращается в ноль. Если наибольшая ордината графика потенциальной энергии равна 16 Дж, то полная механическая энергия тоже 16 Дж, а в точке, где E_п = 0, вся энергия тела кинетическая и E_к = 16 Дж. Не бери ординату промежуточной точки за полную энергию: в ней часть энергии уже перешла в кинетическую.

Проверь себя

1. Что такое плечо силы и почему его отсчитывают от оси вращения, а не от точки приложения силы?
2. В каких единицах измеряется момент силы и как проверить размерность в правиле моментов?
3. Почему моменты удобно считать относительно точки опоры, а не относительно произвольной точки?
4. Как учесть вес самого стержня, если он не назван невесомым?
5. Почему в правило моментов нельзя подставлять массу вместо силы тяжести и что изменится в ответе?

Показательные решения