№6. Соответствия: колебания и движение (маятники, графики, ускорение)
Задание №6 устроено так: даны два графика (или две ситуации), а к ним нужно подобрать величины и явления из списка из четырёх пунктов. В этой позиции встречаются обе большие темы механики: механические колебания маятников и прямолинейное движение с постоянным ускорением, включая бросок. Угадывать нельзя: каждую зависимость нужно вывести из закона. Чаще всего балл теряют те, кто смотрит только на форму кривой, а не на значение величины в начальный момент, на положение нулей и максимумов и на знак проекции.
Механические колебания — это движения, которые повторяются через равные промежутки времени. Две главные модели школьного курса: груз на пружине (пружинный маятник) и небольшой груз на длинной нити (математический маятник). Оба колеблются по одному и тому же закону: смещение меняется по гармоническому закону x = x_m·cos(ωt + φ₀), где x_m — амплитуда, то есть максимальное смещение в метрах, ω — циклическая частота в рад/с, а выражение в скобках называется фазой колебаний.
x = x_m·cos(ωt + φ₀) · T = 2π√(l/g) · T = 2π√(m/k) · ν = 1/T · ω = 2π/T
Смысл периода простой: это время одного полного колебания, измеряется в секундах. Период пружинного маятника зависит только от массы груза m (кг) и жёсткости пружины k (Н/м): тяжёлый груз колеблется медленно, жёсткая пружина — быстро. Период нитяного маятника зависит от длины нити l (м) и ускорения свободного падения g (м/с²), но не зависит от массы груза: две гирьки разной массы на нитях одинаковой длины колеблются совершенно одинаково.
- Период математического маятника: T = 2π√(l/g); частота ν = 1/T (Гц), циклическая частота ω = 2π/T = 2πν (рад/с).
- Период пружинного маятника: T = 2π√(m/k); циклическая частота ω = √(k/m).
- Сложение жёсткостей: при параллельной работе пружин k = k₁ + k₂, при последовательной 1/k = 1/k₁ + 1/k₂.
- Скорость — производная координаты: v = −x_m·ω·sin(ωt), её амплитуда v_m = x_m·ω.
- Ускорение — производная скорости: a = −x_m·ω²·cos(ωt) = −ω²·x, амплитуда a_m = x_m·ω²; ускорение всегда направлено к положению равновесия.
- Энергии: E_кин = m·v²/2 максимальна в положении равновесия, E_пот = k·x²/2 максимальна в крайних точках, полная энергия E = E_кин + E_пот постоянна.
- Кинетическая и потенциальная энергии меняются с удвоенной частотой: за один период колебаний каждая из них дважды обращается в нуль и дважды достигает максимума.
Вторая большая группа заданий этой позиции — прямолинейное движение с постоянным ускорением и бросок. Физика здесь проще, чем кажется: ускорение всё время одно и то же, поэтому проекция скорости меняется линейно, а координата — квадратично. Если тело бросают вверх или оно падает, ускорение равно ускорению свободного падения g ≈ 9,8 м/с² и направлено вниз, причём оно не зависит от того, куда тело движется в данный момент. Сопротивлением воздуха в таких задачах пренебрегают, поэтому единственная сила — сила тяжести.
x(t) = x₀ + v₀ₓ·t + aₓ·t²/2 · vₓ(t) = v₀ₓ + aₓ·t · aₓ = const · y(t) = v₀y·t − g·t²/2 · v_y(t) = v₀y − g·t
- График координаты при постоянном ускорении — парабола: ветви вверх при aₓ > 0 и ветви вниз при aₓ < 0.
- График проекции скорости — прямая линия: её наклон равен ускорению, а точка пересечения с осью времени — момент поворота, когда скорость сменила знак.
- График проекции ускорения — горизонтальная прямая: ускорение не обращается в нуль даже в высшей точке полёта.
- За равные промежутки времени скорость меняется одинаково: Δv = a·Δt, поэтому график скорости строго прямолинеен, без изломов и перегибов.
- Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости: её график — парабола с ветвями вверх, минимум приходится на точку поворота.
- Энергия взаимодействия с Землёй пропорциональна высоте: её график повторяет форму графика высоты, то есть это парабола с ветвями вниз.
- Знак проекции определяется выбором оси: если вектор направлен против оси, проекция отрицательна и график уходит ниже нуля — так ведёт себя только проекция скорости.
| Величина или явление | Формула, закон | Как опознать на графике |
|---|---|---|
| Период пружинного маятника | T = 2π√(m/k) | чем больше масса, тем длиннее период; рост жёсткости уменьшает период |
| Период математического маятника | T = 2π√(l/g) | масса не влияет, длина нити влияет: длиннее нить — больше период |
| Смещение (координата) | x = x_m·cos(ωt + φ₀) | косинусоида; если старт из крайней точки, максимум по модулю стоит в начальный момент |
| Проекция скорости | v = −x_m·ω·sin(ωt) | нули там, где смещение максимально; максимум по модулю — в положении равновесия |
| Проекция ускорения | a = −ω²·x | в противофазе со смещением: где x максимально, там a максимально по модулю и противоположно по знаку |
| Кинетическая энергия | E_кин = m·v²/2 | нули в крайних точках, максимумы в положении равновесия, период вдвое короче |
| Потенциальная энергия пружины | E_пот = k·x²/2 | максимумы в крайних точках, нули в положении равновесия, всегда положительна |
| Координата при равнопеременном движении | x = x₀ + v₀ₓ·t + aₓ·t²/2 | парабола: ветви вверх при aₓ > 0 и вниз при aₓ < 0 |
| Проекция скорости при равнопеременном движении | vₓ = v₀ₓ + aₓ·t | прямая линия, наклон равен ускорению; меняет знак в точке поворота |
| Высота при броске вертикально вверх | y = v₀y·t − g·t²/2 | парабола с ветвями вниз, обращается в нуль в начале и в конце полёта |
| Проекция ускорения при свободном падении | a_y = −g, где g ≈ 9,8 м/с² | горизонтальная прямая на всём интервале времени, в том числе в высшей точке |
| Кинетическая энергия при броске | E_кин = m·v²/2 | парабола с ветвями вверх, минимум в высшей точке полёта |
| Энергия взаимодействия с Землёй | E_пот = m·g·y | парабола с ветвями вниз, максимум в высшей точке полёта |
Порядок установления соответствия всегда один: сначала находишь надёжные пары, где ответ виден сразу, и вычёркиваешь использованные номера. Остаток устанавливается сам, без перебора вариантов. Если сомневаешься между двумя пунктами, посчитай значение величины в начальный момент времени: у проекции скорости и проекции ускорения они почти всегда разные. Второй надёжный признак — знак: ниже нуля на графике может уходить только проекция скорости, а модуль ускорения, путь и энергия отрицательными не бывают.
- Шаг 1. Определи, что изображено на графиках: координата, проекция скорости, проекция ускорения, сила или энергия — и в каких единицах подписана вертикальная ось.
- Шаг 2. Отметь начальный момент и особые точки: где находилось тело, куда была направлена скорость, где график пересекает ноль и где у него максимум.
- Шаг 3. Запиши закон для каждой величины: при колебаниях x = ±x_m·cos ωt, v = ∓x_m·ω·sin ωt, a = −ω²·x, E_пот пропорциональна x², E_кин пропорциональна v²; при равнопеременном движении x = x₀ + v₀ₓ·t + aₓ·t²/2, vₓ = v₀ₓ + aₓ·t, aₓ = const.
- Шаг 4. Сравни характерные точки: где нули, где максимумы, какова частота (у энергий при колебаниях она вдвое выше, чем у координаты) и куда направлены ветви параболы.
- Шаг 5. Установи надёжные пары, вычеркни использованные варианты, заверши остаток и запиши ответ последовательностью цифр без пробелов.
Типичные ошибки. 1) Смотрят только на форму кривой: косинусоидой может оказаться и координата, и проекция ускорения, и энергия — различать нужно по значению в начальный момент и по положению нулей и максимумов. 2) Путают график координаты с графиком проекции скорости: при равнопеременном движении координата задаётся параболой, а скорость — прямой линией, у которой наклон равен ускорению. 3) Считают, что в крайней точке ускорение равно нулю, «потому что тело остановилось»; при броске в высшей точке тоже v_y = 0, но ускорение остаётся равным g ≈ 9,8 м/с² и направлено вниз. 4) Применяют формулу T = 2π√(m/k) к нитяному маятнику и «находят» у него зависимость периода от массы, хотя у нитяного маятника T = 2π√(l/g). 5) Складывают жёсткости не в том случае: параллельно k = k₁ + k₂, последовательно 1/k = 1/k₁ + 1/k₂. 6) Путают параболы энергий: кинетическая энергия растёт как квадрат скорости и даёт ветви вверх, а энергия взаимодействия с Землёй пропорциональна высоте и даёт ветви вниз; заодно помнят, что ν = 1/T, а не наоборот.
Проверь себя
- Как по виду графика отличить координату от проекции скорости при равнопеременном движении и как по графику скорости найти ускорение?
- Почему в высшей точке подъёма брошенного вверх тела проекция скорости равна нулю, а проекция ускорения — нет?
- Почему период математического маятника не зависит от массы груза, а период пружинного маятника зависит?
- В каких единицах измеряются циклическая частота ω и частота ν и как они связаны с периодом T?
- Почему при колебаниях кинетическая и потенциальная энергии меняются с удвоенной частотой по сравнению со смещением?
Показательные решения
- Дано: пружинный маятник колеблется вдоль оси Ox, движение начинается из крайней точки 1, то есть из положения с максимальным смещением. На рисунке два графика А и Б, к которым нужно подобрать величины из списка.
- Так как колебания начинаются из крайнего положения, смещение меняется по закону x(t) = −x_m·cos ω₀t: знак «минус» появляется потому, что в начальный момент тело отклонено от положения равновесия в определённую сторону.
- Проекция скорости — производная координаты: v(t) = x_m·ω₀·sin ω₀t. Это синусоида, равная нулю в точках 1 и 3 (крайние положения) и максимальная по модулю в положении равновесия. Именно так выглядит график А, значит, А — проекция скорости, вариант 3.
- График Б ведёт себя наоборот: его максимумы совпадают с точками 1 и 3, а нули — с положением равновесия. Так выглядит величина, зависящая от смещения, то есть энергия.
- Проверяем формулой: E_пот(t) = k·x²(t)/2 = (k·x_m²/4)·(1 + cos 2ω₀t). Максимумы потенциальной энергии пружины приходятся на крайние точки 1 и 3, минимумы — на положение равновесия. Значит, Б — потенциальная энергия пружины, вариант 1.
- Проверка размерности: [k]·[x²] = (Н/м)·м² = Н·м = Дж, энергия действительно получается в джоулях.
- Итог: А — 3, Б — 1, поэтому ответ 31.
Ответ: 31
Официальное решение из банка ФИПИ
Направим ось Ох вправо. С учетом того, что маятник начинает колебания из положения в точке 1, для зависимости координаты груза от времени имеем x (t) = − x_m cos ω₀ t. Следовательно, для проекции скорости получаем: v (t) = x_m ω₀ sin ω₀ t = v _m sin ω₀ t. График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует проекции скорости груза на ось Ox (А — 3). Нули графика соответствуют положениям маятника в точка 1 и 3, а максимумы и минимумы — положению устойчивого равновесия. Легко видеть, что график Б представляет потенциальную энергию пружинного маятника (Б — 1). Действительно: E_пот (t) = (kx² (t))/(2) = (kx_m²)/(4) (1 + cos²ω₀ t). Максимумы потенциальной энергии соответствуют положениям груза в точках 1 и 3, а минимумы — точке 2. Ответ: 31.
- Дано: математический маятник совершает малые колебания, движение начинается из крайнего положения 1. На рисунке два графика А и Б, к которым нужно подобрать физические величины.
- Записываем закон движения: x(t) = −x_m·cos ω₀t, поскольку в начальный момент маятник отклонён максимально.
- Ускорение — вторая производная координаты: a(t) = x_m·ω₀²·cos ω₀t = a_m·cos ω₀t. Значит, в начальный момент ускорение максимально по модулю, а обращается в нуль там, где маятник проходит положение равновесия. Таков график А.
- Итак, А — проекция ускорения на ось Ox, вариант 2. Запомним общее правило: a = −ω²·x, то есть ускорение всегда в противофазе со смещением.
- Разбираем график Б: он максимален там, где маятник проходит положение равновесия, то есть там, где нули у графика А. Значит, это энергия, связанная со скоростью. Проверяем: E_кин(t) = m·v²(t)/2 = (m·v_m²/4)·(1 − cos 2ω₀t).
- Максимумы кинетической энергии приходятся на положение равновесия, где скорость наибольшая, а нули — на крайние точки 1 и 2, где скорость обращается в ноль. Следовательно, Б — кинетическая энергия, вариант 3.
- Проверка размерности: [m·v²] = кг·(м/с)² = кг·м²/с² = Дж. Итог: А — 2, Б — 3, поэтому ответ 23.
Ответ: 23
Официальное решение из банка ФИПИ
Считая колебания математического маятника малыми, с учетом того, что они начинаются из положения 1, для зависимости координаты маятника от времени имеем: x (t) = − x_m cos ω₀t. Следовательно, для проекции ускорения получаем: a (t) = x_mω₀² cos ω₀t = a_m cos ω₀t. График А отображает именно такую зависимость от времени. Таким образом, график А соответствует проекции ускорения на ось Ox (А — 2). Нули графика соответствуют положению равновесия, а максимумы и минимумы — положениям 1 и 2. Легко видеть, что график Б представляет кинетическую энергию маятника (Б — 3). Действительно: E_кин (t) = (m v² (t))/(2) = (m v _m²)/(4) (1 − cos²ω₀t). Максимумы кинетической энергии соответствуют положению равновесия, в котором скорость маятника максимальна, а минимумы — крайним положениям 1 и 2, в которых скорость обращается в ноль. Ответ: 23.
- Дано: тело начинает движение из начала координат вдоль оси Ox, вектор начальной скорости направлен по оси, а вектор ускорения — против оси. Нужно подобрать формулы для координаты x(t) и проекции скорости vₓ(t).
- Расставляем знаки проекций на ось Ox. Начальная скорость сонаправлена с осью, поэтому v₀ₓ = v₀. Ускорение направлено против оси, поэтому aₓ = −a.
- Записываем общие формулы равнопеременного движения: x(t) = x₀ + v₀ₓ·t + aₓ·t²/2 и vₓ(t) = v₀ₓ + aₓ·t. Тело начинает движение из начала координат, значит x₀ = 0.
- Подставляем проекции в формулу координаты: x(t) = v₀·t − a·t²/2. Зависимость квадратичная — это формула А, то есть вариант 2.
- Подставляем проекции в формулу скорости: vₓ(t) = v₀ − a·t. Зависимость линейная, скорость постепенно уменьшается — это формула Б, то есть вариант 3.
- Проверка размерности: [v₀·t] = (м/с)·с = м и [a·t²] = (м/с²)·с² = м — слагаемые в первой формуле одинаковы по размерности; во второй [v₀] = м/с и [a·t] = (м/с²)·с = м/с — тоже сходится.
- Проверим смысл результата: при большом t слагаемое −a·t²/2 делает координату отрицательной, то есть тело действительно поворачивает назад, а скорость меняет знак — так и должно быть, ведь ускорение направлено против начальной скорости. Итог: А — 2, Б — 3, поэтому ответ 23.
Ответ: 23
Официальное решение из банка ФИПИ
Проекция вектора ускорения ā на ось Ox: − a. Проекция вектора начальной скорости v̄ ₀ на ось Ox: v ₀. Поскольку тело начинает движение из начала координат, координата тела x в момент времени t: v ₀t − at²/2 (А — 2). Скорость v _x тела в момент времени t: v ₀ − at (Б — 3). Ответ: 23.