№7. МКТ: основное уравнение, уравнение состояния и средняя энергия молекул
Задание №7 проверяет умение работать с уравнением состояния идеального газа и с основными положениями МКТ: по графику процесса или по двум состояниям газа нужно найти температуру, объём или количество вещества. Почти все задачи решаются одной формулой pV = νRT — но только если аккуратно перевести единицы и правильно взять отношения величин.
Модель идеального газа: молекулы — очень маленькие упругие шарики, силы притяжения между ними пренебрежимо малы, а столкновения абсолютно упругие. Давление газа создаётся ударами молекул о стенки сосуда: чем чаще удары и чем они сильнее, тем больше давление. Температура в МКТ — мера средней кинетической энергии теплового движения молекул: чем быстрее движутся молекулы, тем выше температура. Именно поэтому абсолютный нуль температуры — это состояние, при котором тепловое движение молекул прекращается.
pV = νRT · p = (1/3)·n·m₀·v² = (2/3)·n·E_к · E_к = (3/2)·k·T
Разберём буквы. ν — количество вещества в молях, ν = m/M, где M — молярная масса; R = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная; T — абсолютная температура в кельвинах, поэтому обязательно T = t + 273. Концентрация молекул n = N/V измеряется в 1/м³, m₀ — масса одной молекулы в килограммах, v² — средний квадрат скорости молекул, k = 1,38·10⁻²³ Дж/К — постоянная Больцмана. Вторая форма записи основного уравнения МКТ получается из первой с помощью E_к = (3/2)·k·T.
- Уравнение состояния (Менделеева — Клапейрона): pV = νRT; для массы газа m удобна запись pV = (m/M)·RT.
- Объединённый газовый закон для двух состояний одной и той же массы газа: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
- Температура пропорциональна произведению pV: T₂/T₁ = (p₂V₂)/(p₁V₁) — множители перемножаются, а не складываются.
- Средняя кинетическая энергия одной молекулы: E_к = (3/2)·k·T — зависит только от температуры и не зависит от массы молекулы.
- Средняя квадратичная скорость: v = √(3kT/m₀) = √(3RT/M) — растёт как корень из абсолютной температуры и падает с ростом молярной массы.
- Основное уравнение МКТ связывает давление с концентрацией и энергией молекул: p = (1/3)·n·m₀·v² = (2/3)·n·E_к.
- Изопроцессы на графиках: изотерма на p–V — гипербола, на p–T — вертикальный отрезок; изобара на V–T — прямая через начало координат; изохора на p–T — прямая через начало координат.
| Что дано в задаче | Что делать | Пример численного шага |
|---|---|---|
| Две точки на диаграмме p–V, количество газа не меняется | взять отношение: T₂/T₁ = (p₂V₂)/(p₁V₁) | p₂ = 3p₁ и V₂ = (4/3)V₁ дают T₂ = 4T₁ |
| Изохорный процесс и график p(T) | записать p₁/T₁ = p₂/T₂ и выразить T₂ | T₂ = (3·10⁴ Па · 300 К)/(1·10⁴ Па) = 900 К |
| Известны ν, T и давление p | выразить объём: V = νRT/p | V = (2 моль · 8,31 Дж/(моль·К) · 300 К)/103750 Па = 0,048 м³ = 48 л |
| Известны p, V и ν | выразить температуру: T = pV/(νR) | T = (1,2·10⁵ Па · 8,3·10⁻³ м³)/(0,2 моль · 8,31 Дж/(моль·К)) ≈ 600 К |
| Два графика: давление и объём от времени | снять значения в нужный момент и перевести в СИ | 1,2 атм = 1,2·10⁵ Па, 8,3 л = 8,3·10⁻³ м³ |
- Шаг 1. Запиши, что дано, и сразу переведи всё в СИ: литры в кубические метры, кПа и атмосферы в паскали, градусы Цельсия в кельвины.
- Шаг 2. Разберись, что происходит с газом: какие из величин p, V, T меняются, а что остаётся постоянным (ν и R постоянны всегда, если газ не выпускают и не добавляют).
- Шаг 3. Выбери запись уравнения: pV = νRT, когда известны три величины из четырёх, или p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂, когда сравниваются два состояния.
- Шаг 4. Вырази неизвестную величину буквами, а затем подставь отношения множителей с графика: считать «в 3 раза больше» надёжнее, чем брать абсолютные значения с осей.
- Шаг 5. Проверь размерность и правдоподобность: температура в кельвинах не бывает отрицательной, объём по порядку величины должен совпадать с ожидаемым.
Типичные ошибки. 1) Подставляют температуру в градусах Цельсия: в уравнение состояния входит только абсолютная температура T = t + 273. 2) Оставляют объём в литрах или давление в кПа: R = 8,31 Дж/(моль·К) рассчитана на кубические метры и паскали. 3) Делят множитель давления на множитель объёма вместо умножения: из pV = νRT следует T₂/T₁ = (p₂/p₁)·(V₂/V₁). 4) Считают процесс изопроцессом, хотя на графике меняются обе координаты: тогда работает объединённый газовый закон, а не p/T = const. 5) Путают количество вещества ν (моли) с концентрацией n (1/м³): это разные величины, ν = m/M, а n = N/V. 6) Считают, что средняя квадратичная скорость зависит только от температуры: она зависит ещё и от массы молекулы.
Проверь себя
- Почему в уравнение состояния нужно подставлять температуру в кельвинах, а не в градусах Цельсия?
- Как из pV = νRT получить объединённый газовый закон p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂?
- Что произойдёт со средней кинетической энергией молекул, если абсолютная температура вырастет в 3 раза? А со средней квадратичной скоростью?
- Как по графику в осях p–V узнать, во сколько раз изменилась температура, если количество газа не менялось?
- В каких единицах измеряются ν, n, R и k и что означает каждая из этих величин?
Показательные решения
- Дано: диаграмма в осях p–V, на которой одна и та же масса газа переходит из состояния 1 в состояние 2. С осей видно, что p₂ = 3p₁ и V₂ = (4/3)V₁. Нужно найти, во сколько раз изменилась абсолютная температура газа.
- Количество вещества не меняется, поэтому применим уравнение состояния идеального газа pV = νRT и его следствие для двух состояний: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
- Выражаем температуру второго состояния: T₂ = T₁·(p₂V₂)/(p₁V₁).
- Подставляем множители: p₂V₂ = 3p₁ · (4/3)V₁ = 4p₁V₁, следовательно T₂ = 4T₁.
- Проверка размерности: мы ищем отношение температур, поэтому паскали, кубические метры и кельвины сокращаются, и результат безразмерный — 4.
- Проверим правдоподобность на числах: если T₁ = 300 К, то T₂ = 1200 К. Температура выросла, и это логично: и давление, и объём увеличились.
- Ответ: температура увеличилась в 4 раза, то есть 4.
Ответ: 4
Официальное решение из банка ФИПИ
Согласно уравнению Клапейрона — Менделеева, при любых процессах с фиксированным количеством идеального газа величина pV/T остается постоянной. Из диаграммы видно, что p₂ = 3p₁, а V₂ = 4/3 V₁. Следовательно: T₂ = T₁ p₂/V₂ p₁V₁ = T₁ (3p₁ · 4/3 V₁)/(p₁V₁) = 4T₁. Ответ: 4.
- Дано: график зависимости давления газа от температуры, из которого видно, что объём не меняется, — процесс изохорный. Начальное состояние: p₁ = 1·10⁴ Па, T₁ = 300 К (это 27 °C), конечное давление p₂ = 3·10⁴ Па. Нужно найти конечную температуру T₂.
- Для изохорного процесса при неизменном количестве вещества выполняется закон Шарля: p₁/T₁ = p₂/T₂.
- Выражаем неизвестную температуру: T₂ = p₂·T₁/p₁.
- Подставляем числа: T₂ = (3·10⁴ Па · 300 К)/(1·10⁴ Па) = 900 К.
- Проверка размерности: паскали в числителе и знаменателе сокращаются, остаются кельвины — именно то, что нужно найти.
- Обрати внимание на температуру: 27 °C в вычислении участвуют как 300 К, а не как 27. Если подставить 27, получится 81 К, что физически бессмысленно.
- Ответ: 900 К, то есть 900.
Ответ: 900
Официальное решение из банка ФИПИ
Из графика видно, что процесс изохорный. В таком процессе выполняется соотношение p₁/T₁ = p₂/T₂, откуда получаем: T₂ = (p₂ T₁)/(p₁) = (3·10⁴ Па · 300 К)/(1·10⁴ Па) = 900 К. Ответ: 900.
- Дано: количество вещества ν = 2 моль, температура T = 300 К, по графику находим давление p = 103,75 кПа = 103750 Па. Нужно найти объём сосуда V.
- Уравнение Менделеева — Клапейрона: pV = νRT. Выражаем объём: V = νRT/p.
- Подставляем числовые значения: V = (2 моль · 8,31 Дж/(моль·К) · 300 К)/(103750 Па).
- Считаем по действиям: сначала числитель 2 · 8,31 · 300 = 4986 Дж, затем деление 4986 Дж / 103750 Па ≈ 0,048 м³.
- Проверка размерности: (моль · Дж/(моль·К) · К)/Па = Дж/Па = (Н·м)/(Н/м²) = м³ — объём получился в кубических метрах.
- В ответе просят литры, поэтому переводим: 0,048 м³ · 1000 = 48 л (в одном кубическом метре тысяча литров).
- Ответ: 48 л, то есть 48.
Ответ: 48
Официальное решение из банка ФИПИ
Из уравнения Менделеева — Клапейрона получаем: V = ν RT/p = (2 моль · 8,31 Дж/ (моль · К) · 300 К)/(103750 Па) = 0,048 м³ = 48 л. Ответ: 48.