№9. Верные утверждения: газы, изопроцессы и первое начало термодинамики
Задание №9 — выбор нескольких верных утверждений по графику процесса. Угадывать здесь бесполезно: каждое утверждение нужно проверить расчётом или рассуждением по закону. Ниже — общая схема проверки, таблица типичных формулировок и три разобранных задания из банка.
Формат задания такой: дан график процесса (чаще всего в осях p–V, p–T или V–T) и пять утверждений, из которых верны два или три. Балл ставится только за полностью верный набор, поэтому проверять нужно все пять утверждений, а не останавливаться на первых найденных. Хорошая привычка — рядом с каждым утверждением ставить плюс или минус и короткую запись, каким законом ты это проверил.
pV = νRT · p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ · U = (3/2)·pV · A = площадь под графиком p–V · Q = ΔU + A
- Уравнение состояния: pV = νRT; для двух состояний одной массы газа p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂.
- Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна температуре: U = (3/2)·νRT = (3/2)·pV для одноатомного газа.
- Работа газа в осях p–V равна площади под графиком: расширение даёт A > 0, сжатие A < 0.
- Изопроцессы: изотерма pV = const, изобара V/T = const, изохора p/T = const.
- Чтение графиков: на p–V вертикальный отрезок — изохора, на p–T вертикальный отрезок — изотерма, а горизонтальный — изобара.
- Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A — из него определяют знак теплоты, если знаки ΔU и A уже известны.
- При одинаковых объёмах и температурах давление пропорционально количеству вещества: из pV = νRT следует ν ∝ p.
| Формулировка утверждения | Что проверяем | Вывод |
|---|---|---|
| «Газ в процессе совершил положительную работу» | растёт объём или уменьшается | верно при расширении, неверно при сжатии |
| «Работа газа в процессе равна нулю» | является ли процесс изохорным | верно только для изохоры: на изотерме работа не нулевая |
| «Внутренняя энергия газа уменьшилась» | как изменилась температура: ΔU определяется только ΔT | верно при падении T, неверно при T = const |
| «Температура в состоянии 1 в 4 раза больше, чем в состоянии 4» | отношение произведения pV в этих состояниях | верно при отношении 4; проверяем pV, а не одно давление |
| «Газ получил положительное количество теплоты» | знак Q из Q = ΔU + A | верно, если сумма ΔU + A положительна |
| «Количество вещества первого газа больше, чем второго» | при равных T и V из pV = νRT следует ν ∝ p | верно, если давление первого газа больше |
| «Объём газа увеличивался» | по изопроцессу: на изотерме рост V означает падение p | верно, если произведение pV растёт при постоянной T |
Отдельно про работу. В осях p–V работа равна площади под графиком, поэтому сравнивать процессы удобно прямоугольниками: ширина — изменение объёма ΔV, высота — давление p. В осях p–T площадь не имеет физического смысла, там работу считать нельзя: сначала нужно понять, как менялся объём. Если давление постоянно, A = p·ΔV; если объём постоянен, A = 0, и тогда вся теплота идёт на изменение внутренней энергии, то есть Q = ΔU.
- Шаг 1. Определи оси графика и вид каждого участка: изотерма, изобара, изохора или произвольный процесс.
- Шаг 2. Расставь в характерных точках значения величин, взяв числа прямо с осей и подписав множители: «в 2 раза», «в 3 раза».
- Шаг 3. Для каждого утверждения выбери инструмент: объём и работу — площадь в осях p–V; температура — произведение pV; внутренняя энергия — изменение T.
- Шаг 4. Проверяй знак величины, а не только её модуль: «увеличилась», «уменьшилась», «работу совершили над газом» — это разные утверждения.
- Шаг 5. Выпиши номера верных утверждений по возрастанию и запиши их подряд без пробелов; перед сдачей перечитай, не пропустил ли ты третье верное утверждение.
Типичные ошибки. 1) Ищут работу как площадь под графиком на диаграмме p–T: площадь имеет смысл только в координатах p–V. 2) Судят о внутренней энергии по давлению или по объёму в отдельности, тогда как U определяется только температурой, то есть произведением pV. 3) Путают, кто совершает работу: работа газа положительна при расширении, а работа внешних сил положительна при сжатии. 4) Принимают изотерму за изохору: на графике p–T изотерма — вертикальный отрезок, а прямая через начало координат — изохора. 5) Останавливаются после двух верных утверждений и не проверяют оставшиеся три. 6) Считают температуры равными только потому, что совпали давления, забывая про разное количество вещества.
Проверь себя
- Как по графику в осях p–T отличить изохору от изотермы и от изобары?
- Почему в изохорном процессе работа газа равна нулю, а количество теплоты при этом не обязано быть нулевым?
- Как, зная температуры в двух состояниях, сравнить внутренние энергии газа?
- Почему площадь под графиком в осях p–T не равна работе газа?
- Что означает отрицательная работа газа и в каком процессе она получается?
Показательные решения
- Дано: график процесса в осях p–T из трёх участков: 1–2 — наклонная прямая, продолжение которой проходит через начало координат; 2–3 — вертикальный отрезок вниз; 3–1 — горизонтальный отрезок влево. Нужно выбрать верные утверждения.
- Разбираем геометрию графика. Прямая через начало координат на диаграмме p–T означает p/T = const, то есть изохору: объём не меняется. Вертикальный отрезок означает неизменную температуру — изотерму. Горизонтальный отрезок — неизменное давление, изобару.
- Проверяем участок 2–3: это изотерма, давление падает. По закону Бойля — Мариотта pV = const, значит, при уменьшении давления объём растёт: газ расширяется и совершает положительную работу. Утверждение о положительной работе на этом участке верно.
- Проверяем участок 1–2: это изохора, объём не меняется, поэтому работа газа равна нулю. Утверждение о совершаемой здесь работе неверно.
- Проверяем участок 3–1: изобара, температура уменьшается. По закону Гей-Люссака V/T = const объём тоже уменьшается, газ сжимается, значит, работу совершают над газом, а работа самого газа отрицательна. Сравнивать её с нулём как положительную нельзя.
- Сравниваем изменения внутренней энергии: ΔU пропорционально ΔT. На участках 1–2 и 3–1 температура меняется между одними и теми же значениями, поэтому изменения температуры одинаковы по модулю, а значит, модули ΔU совпадают — это утверждение верно.
- Верны утверждения 3, 4 и 5, поэтому ответ 345.
Ответ: 345
Официальное решение из банка ФИПИ
Проанализируем каждое утверждение. 1. Процесс²–3 — изотермическое уменьшение давления, следовательно, по закону Бойля — Мариотта: pV = const, значит, газ расширялся, то есть совершал положительную работу. 2. Заметим, что график построен в переменных p − T, процесс 1–2 — линейный, следовательно, процесс 1–2 — изохора, значит, работа не совершается. 3. Процесс²–3 — изотермическое уменьшение давления, следовательно, газ расширялся, то есть совершал положительную работу. 4. Процесс³–1 — это изобарическое уменьшение температуры, следовательно, по закону Гей-Люссака V/T = const, то есть объем также уменьшался. Следовательно, над газом совершают работу, то есть газ совершает отрицательную работу. 5. Изменение внутренней энергии идеального газа прямо пропорционально изменению температуры, Изменение температуры в процессах 1–2 и 3–1 одинаково по модулю, следовательно, модуль изменения внутренней энергии на участке 1–2 = модулю изменения внутренней энергии на участке 3–1. Ответ: 345.
- Дано: замкнутый цикл 1–2–3–4 на диаграмме p–V, газ идеальный одноатомный. Нужно выбрать верные утверждения о внутренней энергии и работе.
- Читаем цикл по участкам: 1–2 — изобарное расширение (объём растёт при постоянном давлении), 2–3 — изохорное охлаждение (объём постоянен, давление падает), 3–4 — изобарное сжатие, 4–1 — изохорное нагревание.
- Внутренняя энергия пропорциональна температуре, то есть произведению pV. На участке 1–2 произведение pV растёт, значит, температура и внутренняя энергия увеличиваются — утверждение верно.
- На участке 2–3 объём постоянен, поэтому работа газа равна нулю. Утверждение о ненулевой работе на этом участке неверно.
- На участке 3–4 давление постоянно, а объём уменьшается: по закону V/T = const температура падает, внутренняя энергия уменьшается — утверждение верно.
- На участке 4–1 объём постоянен, а давление возрастает в 4 раза; из p/T = const температура растёт во столько же раз — утверждение верно.
- Работа в осях p–V равна площади под графиком, то есть p·|ΔV|. На участке 1–2 давление в 4 раза больше, а изменение объёма такое же, как на 3–4, поэтому работы различаются вчетверо, и утверждение о равенстве работ неверно. Верны утверждения 1, 3 и 4, поэтому ответ 134.
Ответ: 134
Официальное решение из банка ФИПИ
Внутренняя энергия идеального газа пропорциональна температуре и не зависит от давления и занимаемого газом объема: Δ U = i/2 ν RΔ T. 1. Верно. Процесс 1–2 — изобарное расширение. В этом процессе (согласно уравнению состояния идеального газа pV = ν RT) температура увеличивается, а значит, и увеличивается внутренняя энергия. 2. Неверно. В осях p–V работа газа равна площади под графиком. В процессе 2–3 работа газа равна нулю. 3. Верно. Процесс³–4 — изобарное сжатие, температура при этом уменьшается. 4. Верно. Процесс 4–1 — изохорное нагревание. Давление возрастает в 4 раза, а значит, и температура возрастает в 4 раза. 5. Неверно. Работа, совершенная газом в процессе 1–2, в 4 раза больше работы, совершенной над газом в процессе 3–4. Ответ: 134.
- Дано: цикл 1–2–3–4 на диаграмме p–V. Нужно проверить утверждения о внутренней энергии и работе газа.
- Читаем участки: 1–2 — изобарное расширение, 2–3 — изохорное уменьшение давления, 3–4 — изобарное сжатие, 4–1 — изохорный рост давления.
- Внутренняя энергия одноатомного газа: U = (3/2)·νRT = (3/2)·pV. На участке 1–2 объём растёт при постоянном давлении, значит, произведение pV увеличивается и внутренняя энергия растёт — это утверждение верно.
- На участке 2–3 объём не меняется, поэтому работа газа равна нулю: газ не совершает работу, и это надо учитывать при проверке утверждений о работе.
- На участке 3–4 объём уменьшается при постоянном давлении, температура падает, внутренняя энергия уменьшается, а работу совершают над газом.
- Сравниваем состояния 1 и 4: из графика p₁ = 4p₄ при V₁ = V₄, поэтому U₁/U₄ = (p₁V₁)/(p₄V₄) = 4. Значит, при переходе 4–1 температура и внутренняя энергия растут в 4 раза — утверждение верно.
- Работа равна площади под графиком: у процесса 1–2 она в 4 раза больше, чем у процесса 3–4, потому что ширина (изменение объёма) одинакова, а давление вчетверо выше. Поэтому утверждение, где работы сравниваются иначе, неверно. Верны утверждения 1 и 4, поэтому ответ 14.
Ответ: 14
Официальное решение из банка ФИПИ
1. Процесс 1–2 — изобарическое увеличение объема. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа вычисляется по формуле: U = 3/2 ν RT = 3/2 pV. Произведение pV в данном процессе увеличивается, значит, внутренняя энергия газа растет. 2. Процесс²–3 — изохорное уменьшение давления, в изохорном процессе работа не совершается. 3. Процесс³–4 — изобарическое уменьшение объема. Из графика видно, что газ переходит в состояние с меньшей температурой, следовательно, уменьшается внутренняя энергия газа. Также заметим, что над газом совершают работу, значит, от газа отнимают некоторое количество теплоты. 4. Из графика видно, что p₁ = 4p₄; V₁ = V₄. Найдем отношение внутренней энергии газа в состоянии 4 к внутренней энергии газа в состоянии 1: U₁/U₄ = p₁V₁/p₄V₄ = (4p₄V₄)/(p₄V₄) = 4. То есть, в процессе 4–1 температура газа увеличивается в 4 раза. 5. Работа равна площади под графиком в координатах p − V. Из рисунка видно, что площадь под графиком 1–2 в четыре раза больше площади под графиком³–4. Таким образом, верны утверждения под номерами 1 и 4. Ответ: 14.