Задание №1 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 12,5
Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 13, tg A = 1/5. Найдите AH.
Подсказки — как подойти к решению
- CH — высота к гипотенузе, она делит AB на отрезки AH и BH. Отрезок AH — проекция катета AC, поэтому AH = AC · cos A = AB · cos²A.
- Косинус удобно выразить через тангенс: cos²A = 1/(1 + tg²A).
Решение
Имеем:
AH = AC cos A = (AB cos A) cos A = AB cos² A =
= AB · 1/(1 + tg² A) = 13 · 1/(1 + 1/25) = 13 · 25/26 = 12,5.
Ответ: 12,5.
Приведем решение без использования тригонометрии (Мария Казначеева).
Из треугольника ACH найдем tg A = CH/AH, значит, 1/5 = CH/AH, откуда CH = AH/5. По свойству прямоугольного треугольника CH² = AH · HB. Пусть AH = x, тогда HB = 13 − x, следовательно,
(x/5)² = x (13 − x) ⇔ x²/25 = 13x − x² ⇔ x² = 13 · 25x − 25x² ⇔
⇔ 26x² − 13 · 25x = 0 ⇔ 13x (2x − 25) = 0, (x/5)² = x (13 − x) ⇔ x²/25 = 13x − x² ⇔
⇔ x² = 13 · 25x − 25x² ⇔
⇔ 26x² − 13 · 25x = 0 ⇔ 13x (2x − 25) = 0,
откуда x = 0, что не подходит, или
2x − 25 = 0 ⇔ 2x = 25 ⇔ x = 12,5.
Приведем еще одно решение (Камиль Исламов).
Заметим, что угол CAH равен углу BCH. Пусть AH = x, тогда HB = 13 − x. Из треугольника ACH имеем CH = AH · tg A = x/5. Из треугольника BCH имеем CH = BH/tg A = 5 (13 − x). Приравнивая получившиеся выражения для CH, получим
x/5 = 5 (13 − x) ⇔ 26x/5 = 65 ⇔ x = 12,5.
Типичные ошибки
- Столько получается, если взять sin²A вместо cos²A. Проекция катета AC (то есть AH) считается через cos²A = 1/(1 + tg²A).
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №1 по профильной математике · Разбор темы №1 с нуля