Задание №1 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 2,5
Условие
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 13, tg A = 1/5. Найдите высоту CH.
Подсказки — как подойти к решению
- Высота к гипотенузе равна CH = AC · sin A, а сам катет AC = AB · cos A. Значит, CH = AB · sin A · cos A.
- При tg A = 1/5 удобно взять sin A = 1/√26 и cos A = 5/√26 — произведение даёт простую дробь.
Решение
Поскольку CH = AC sin A, AC = AB cos A имеем:
CH = AB sin A cos A = AB · (sin A)/(cos A) cos² A = AB · tg α 1/(1 + tg² α) = 13 · 1/5 · 1/(1 + (1/5)²) = 5/2. CH = AB sin A cos A = AB · (sin A)/(cos A) cos² A =
= AB · tg α 1/(1 + tg² α) = 13 · 1/5 · 1/(1 + (1/5)²) = 5/2.
Ответ: 2,5.
Приведем другое решение.
Пусть длина катета ВС равна х, тогда длина АС равна 5х, а длина гипотенузы равна x √(26). Зная, что гипотенуза равна 13, находим: x = (13)/(√(26)). Поскольку проведенная к гипотенузе высота равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, имеем:
CH = (CB · CA)/(AB) = (5x²)/(x √(26)) = (5x)/(√(26)) = (5 · 13)/(26) = 5/2.
Типичные ошибки
- Так получается при использовании sin²A. Высота к гипотенузе — это произведение sin A и cos A, умноженное на гипотенузу.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №1 по профильной математике · Разбор темы №1 с нуля