Задание №1 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 17,5
Условие
В треугольнике АВС угол С равен 90°, CH — высота, BC = 3, sin A = 1/6. Найдите АН.
Подсказки — как подойти к решению
- AH — проекция катета AC на гипотенузу, поэтому AH = AC · cos A. Катет AC найди из второго катета: AC = BC : tg A.
- Сначала переведи sin A = 1/6 в косинус: cos A = √35/6. Дальше подставь в формулу AH = BC · cos²A / sin A.
Решение
Имеем:
AH = AC cos A = BC/tgA · cos A = (BC cos² A)/(sin A) = (BC (1 − sin² A))/(sin A) = (3 (1 − 1/36))/(1/6) = 17,5. Ответ: 17,5.
Приведем решение Расиля Садыкова.
Из прямоугольного треугольника ABC
sin ∠ A = BC/AB ⇔ AB = (BC)/(sin ∠ A) = (3)/(1/6) = 18.
Заметим, что HCB = CAB, тогда из прямоугольного треугольника CHB
sin ∠ HCB = HB/BC ⇔ HB = BC · sin ∠ HCB = 3 · 1/6 = 0,5.
Тогда AH = AB − HB = 18 − 0, 5 = 17,5.
Приведем решение Ларисы Максименко.
По теореме Пифагора
AC² = AB² − BC² = 324 − 9 = 315.
В прямоугольном треугольнике катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией этого катета на гипотенузу:
AC² = AB*AH ⇔ AH = AC²/AB = 315/18 = 17,5.
Типичные ошибки
- Получается, если перевернуть отношение: проекция катета AC равна произведению BC на cos²A, делённому на sin A.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №1 по профильной математике · Разбор темы №1 с нуля