Задание №4 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением

Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки — буквой Р. Возможны восемь исходов:

OOO, OОР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР.

Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна 3/8, то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)

Ответ: 0,375.

Приведем другое решение.

Каждое бросание с равной вероятностью может дать орел или решку, поэтому для трех бросаний равновозможны 2³ = 8 различных вариантов. Орел выпадает ровно два раза в трех случаях: орел-решка-орел, решка-орел-орел, орел-орел-решка. Поэтому вероятность этого события 3/8.

Приведем решение, основанное на комбинаторных формулах.

Общее количество различных вариантов описывается формулой для размещений с повторениями: A₂³ = 2³ = 8. Количество способов получить ровно три орла дается перестановками с повторениями P (1, 2) = 3!/1!2! = 3. Искомая вероятность равна отношению благоприятных случаев ко всем возможным:

(A₂³)/(P (1, 2)) = 3/8 = 0,375.

Приведем решение, использующее теоремы о вероятностях.

Возможны три варианта: орел-орел-решка, орел-решка-орел, решка-орел-орел. Эти события несовместные, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий:

1/2 · 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 · 1/2 + 1/2 · 1/2 · 1/2 = 0,375.

Формула Бернулли.

Вероятность выпадения монетки одной стороной и дважды другой стороной равна 0,5 · 0,5 · 0, 5 = 0,125. Выбрать из этих «трех» сторон два орла можно С₃² = 3 способами. Следовательно, искомая вероятность равна 0,375.

Примечание. Последнее рассуждение — не что иное, как вывод формулы Бернулли для нашего случая. В общем случае если проводится n испытаний, в каждом из которых некоторое событие наступает в вероятностью p, то вероятность наступления этого события ровно k раз дается формулой C_n ^ k p ^ k (1 − p) ^ (n − k).