Задание №5 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 5
Условие
При артиллерийской стрельбе автоматическая делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98?
В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.
Подсказки — как подойти к решению
- Считай через противоположное событие: цель не уничтожена после нескольких выстрелов.
- Вероятность промаха при первом выстреле отличается от вероятности промаха при последующих: перебирай число выстрелов, пока вероятность уничтожения не станет не меньше требуемой.
Решение
Найдем вероятность противоположного события, состоящего в том, что цель не будет уничтожена за n выстрелов. Вероятность промахнуться при первом выстреле равна 1 − 0, 4 = 0,6, а при каждом следующем 1 − 0, 6 = 0,4. Эти события независимые, вероятность их произведения равна произведению вероятности этих событий. Поэтому вероятность промахнуться при n выстрелах равна: 0,6 · 0,4 ^ (n − 1).
Осталось найти наименьшее натуральное решение неравенства
0,6 · 0,4 ^ (n − 1) < 0,02 ⇔ (2/5) ^ (n − 1) < 1/30.
Последовательно проверяя значения n, равные 1, 2, 3 и т. д., находим, что искомым решением является n = 5. Следовательно, необходимо сделать 5 выстрелов.
Ответ: 5.
Примечание.
Можно решать задачу «по действиям», вычисляя вероятность уцелеть после ряда последовательных промахов.
Р(1) = 0,6.
Р(2) = Р(1) · 0, 4 = 0,24.
Р(3) = Р(2) · 0, 4 = 0,096.
Р(4) = Р(3) · 0, 4 = 0,0384.
Р(5) = Р(4) · 0, 4 = 0,01536.
Последняя вероятность < 0,02, поэтому достаточно пяти выстрелов по мишени.
Приведем другое решение.
Вероятность поразить мишень равна сумме вероятностей поразить ее при первом, втором, третьем и т. д. выстрелах. Поэтому задача сводится к нахождению наименьшего натурального решения неравенства
0,4 + 0,6 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,4 · 0,6 +... + 0,6² · 0,4 ^ (n − 2) ≥ 0,98. 0,4 + 0,6 · 0,6 + 0,6 · 0,4 · 0,6 +
+ 0,6 · 0,4 · 0,4 · 0,6 +... + 0,6² · 0,4 ^ (n − 2) ≥ 0,98.
В нашем случае неравенство решается подбором, в общем случае понадобится формула суммы геометрической прогрессии, использование которой сведет задачу к простейшему логарифмическому неравенству.
Типичные ошибки
- При четырёх выстрелах вероятность уничтожения меньше требуемой — проверь следующий вариант.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №5 по профильной математике · Разбор темы №5 с нуля