Задание №8 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: -1
Условие
Прямая y = − 4x − 11 является касательной к графику функции y = x³ + 7x² + 7x − 6. Найдите абсциссу точки касания.
Подсказки — как подойти к решению
- У касательной с графиком общая точка: там совпадают и значения функции, и значения производной.
- Составь уравнение «производная равна коэффициенту прямой», а затем проверь, какая из найденных точек лежит и на самой прямой.
Решение
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поэтому абсциссы точек касания удовлетворяют уравнению y' = − 4:
3x² + 14x + 7 = − 4 ⇔ 3x² + 14x + 11 = 0 ⇔ x = − 1, x = − 11/3.
Абсциссы точек пересечения должны удовлетворять уравнению x³ + 7x² + 7x − 6 = − 4x − 11. Проверка показывает, что число − 1 ему удовлетворяет, а число − 11/3 — нет.
Ответ: − 1.
Условие касания можно записать в общем виде.
Условие касания графика функции y = f (x) и прямой y = kx + b задаётся системой уравнений:
система: f' (x) = k, f (x) = kx + b.
В нашем случае имеем:
система: 3x² + 14x + 7 = − 4, x³ + 7x² + 7x − 6 = − 4x − 11. ⇔ система: 3x² + 14x + 11 = 0; x³ + 7x² + 11x + 5 = 0 ⇔ система: x = − 11/3, x = − 1, или x³ + 7x² + 11x + 5 = 0 (*). система: 3x² + 14x + 7 = − 4, x³ + 7x² + 7x − 6 = − 4x − 11. ⇔
⇔ система: 3x² + 14x + 11 = 0; x³ + 7x² + 11x + 5 = 0 ⇔ система: x = − 11/3, x = − 1, или x³ + 7x² + 11x + 5 = 0 (*). система: 3x² + 14x + 7 = − 4, x³ + 7x² + 7x − 6 = − 4x − 11. ⇔
⇔ система: 3x² + 14x + 11 = 0; x³ + 7x² + 11x + 5 = 0 ⇔
⇔ система: x = − 11/3, x = − 1, или x³ + 7x² + 11x + 5 = 0 (*).
Проверка подстановкой показывает, что первый корень не удовлетворяет, а второй удовлетворяет уравнению (*). Поэтому искомая абсцисса точки касания − 1.
Ответ: − 1.
Типичные ошибки
- Проверка касания не выполнена: из двух корней уравнения подходит только тот, при котором значения функции и прямой совпадают.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №8 по профильной математике · Разбор темы №8 с нуля