Задание №9 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 50
Условие
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону H (t) = H₀ − √(2gH₀) kt + g/2 k² t², где t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, H₀ = 20 — начальная высота столба воды, k = 1/50 — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а g — ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с²). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
Подсказки — как подойти к решению
- Бак цилиндрический, поэтому четверть объёма — это четверть высоты столба воды.
- Подставь эту высоту в формулу и реши квадратное уравнение; из двух корней возьми меньший.
Решение
Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является
H (t) = 20 − √(2 · 10 · 20) · 1/50 t + 10/2 (1/50)² t² = 0,002t² − 0,4t + 20.
Четверть первоначального объёма воды в баке останется, когда высота столба воды будет 5 м. Определим требуемое на вытекание трех четвертей воды время — найдем меньший корень уравнения H (t) = 5:
0,002t² − 0,4t + 20 = 5 ⇔ t² − 200t + 7500 = 0 ⇔ t = 50 или t = 150.
Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.
Ответ: 50.
Типичные ошибки
- Из двух корней квадратного уравнения нужен меньший: вода вытекает, высота падает, и четверть объёма достигается раньше.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №9 по профильной математике · Разбор темы №9 с нуля