Задание №9 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 2
Условие
Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью v ₀ = 20 м/с, начал торможение с постоянным ускорением a = 5 м/с2. За t секунд после начала торможения он прошёл путь S = v ₀ t − at²/2 (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 30 метров. Ответ выразите в секундах.
Подсказки — как подойти к решению
- Подставь путь в формулу и реши квадратное уравнение относительно времени.
- Корней два: автомобиль проходит отметку в тридцать метров дважды. Нужен первый момент — до полной остановки.
Решение
Найдем, за какое время, прошедшее от момента начала торможения, автомобиль проедет 30 метров:
20t − 2,5t² = 30 ⇔ t² − 8t + 12 = 0 ⇔ t = 6, t = 2.
Значит, через 2 секунды после начала торможения автомобиль проедет 30 метров.
Ответ: 2.
Примечание о выборе корня.
Формула S = 20t − 2,5t² описывает движение автомобиля от начала торможения до полной остановки. Моменту остановки соответствует наибольший пройденный путь. Наибольшее значение квадратного трехчлена at² + bt + c достигается в точке t₀ = − (b)/ 2a, в нашем случае t₀ = − 20/ − 5 = 4 \с. Следовательно, через 4 секунды после начала движения автомобиль остановится. Поэтому больший корень уравнения не подходит по смыслу задачи.
Если бы автомобиль после остановки продолжил движение в соответствии с заданной формулой, он поехал бы назад, увеличивая скорость. В некоторый момент времени автомобиль вновь оказался бы на заданном расстоянии от начального положения. Этот момент определяется большим корнем решенного уравнения.
Для читателей, закончивших 9 класс, приведем объяснение в общем виде, опираясь на знания курса физики. При равноускоренном движении x (t) = x₀ + v ₀ t + at²/2, v (t) = v ₀ + at. Из формулы скорости следует, что при торможении скорость тела достигает нуля в момент времени t₀ = − v ₀/a. Поэтому при решении задач на пройденный при торможении путь допустимыми являются моменты времени, не большие t0.
Рекомендуем сравнить это задание с заданиями 27961 и 27962.
Типичные ошибки
- Это второй момент, когда автомобиль снова оказался на том же расстоянии — уже замедляясь. Нужно первое достижение.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №9 по профильной математике · Разбор темы №9 с нуля