Задание №9 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 36
Условие
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием f = 30 см. Расстояние d₁ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние d₂ от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение 1/(d₁) + 1/(d₂) = 1/f. Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы еe изображение на экране было чeтким. Ответ выразите в сантиметрах.
Подсказки — как подойти к решению
- Чем больше расстояние до экрана, тем меньше нужно расстояние до лампочки: возьми наибольшее значение второго расстояния.
- Подставь его и фокусное расстояние в формулу тонкой линзы и найди первое расстояние.
Решение
Поскольку f = 30, имеем:
1/(d₁) + 1/(d₂) = 1/30 ⇔ 1/(d₁) = 1/30 − 1/(d₂).
Наименьшему возможному d₁ значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность 1/30 − 1/(d₂) в правой части равенства достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого 1/(d₂), которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя d₂. Поэтому d₂ = 180, откуда
1/(d₁) = 1/30 − 1/180 ⇔ 1/(d₁) = 5/180 ⇔ 1/(d₁) = 1/36 ⇔ d₁ = 36 см.
По условию лампочка должна находиться на расстоянии от 30 до 50 см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию.
Ответ: 36.
Типичные ошибки
- Это расстояние при наименьшем удалении экрана. При большем удалении лампочку можно придвинуть ближе.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №9 по профильной математике · Разбор темы №9 с нуля