Задание №9 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 7
Условие
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 440 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f (v) = (f₀)/(1 − v/c) (Гц), где c — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.
Подсказки — как подойти к решению
- Частоты должны различаться не меньше чем на десять герц: составь неравенство для второй частоты.
- Вырази из неравенства скорость и подставь скорость звука из условия.
Решение
Задача сводится к решению неравенства f (v) − f₀ ≥ 10 при известном значении постоянной f₀ = 440 Гц:
f (v) − f₀ ≥ 10 ⇔ (f₀)/(1 − v/c) − f₀ ≥ 10 ⇔ (440)/(1 − v/315) − 440 ≥ 10 ⇔
⇔ (315)/(315 − v) − 1 ≥ 1/44 ⇔ (315)/(315 − v) ≥ 45/44 ⇔ (450 (v − 7))/(315 − v) ≥ 0 ⇔ 7 ≤ v < 315. f (v) − f₀ ≥ 10 ⇔ (f₀)/(1 − v/c) − f₀ ≥ 10 ⇔
⇔ (440)/(1 − v/315) − 440 ≥ 10 ⇔ (315)/(315 − v) − 1 ≥ 1/44 ⇔
⇔ (315)/(315 − v) ≥ 45/44 ⇔ (450 (v − 7))/(315 − v) ≥ 0 ⇔ 7 ≤ v < 315. f (v) − f₀ ≥ 10 ⇔ (f₀)/(1 − v/c) − f₀ ≥ 10 ⇔
⇔ (440)/(1 − v/315) − 440 ≥ 10 ⇔
⇔ (315)/(315 − v) − 1 ≥ 1/44 ⇔ (315)/(315 − v) ≥ 45/44 ⇔
⇔ (450 (v − 7))/(315 − v) ≥ 0 ⇔ 7 ≤ v < 315.
Значит, минимальное значение скорости тепловоза 7 м/с.
Ответ: 7.
Типичные ошибки
- Проверь вычисление: скорость получается меньше — раздели скорость звука на знаменатель неравенства.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №9 по профильной математике · Разбор темы №9 с нуля