Задание №10 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 52
Условие
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем. Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она > 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Подсказки — как подойти к решению
- Обозначь скорость первого автомобиля за x, тогда на первой половине пути второй ехал со скоростью x − 13, а на второй — 78 км/ч.
- Времена равны: составь уравнение и реши его. По условию скорость первого больше 48 км/ч.
Решение
Пусть v км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна v − 13 км/ч. Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:
2/v = 1/78 + 1/(v − 13) при v > 48 ⇔ 2 · 78 (v − 13) = v² − 13 v + 78 v ⇔
⇔ v² − 91 v + 52 · 39 = 0 ⇔ v = 52 или v = 39. при v > 48 ⇔ v = 52.
Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 52 км/ч.
Ответ: 52.
Примечание.
По условию оба автомобиля проехали одинаковое расстояние за одно и то же время, а значит, средние скорости их движения равны. Поэтому из приведенного решения следует, что средняя скорость второго автомобиля равна 52 км/ч, его скорость на первой половине пути составляет 52 − 13 = 39 км/ч, а скорость на второй половине пути — 78 км/ч. Невнимательный читатель мог бы решить, что в решении ошибка, поскольку (39 + 78)/(2) ≠ 52. Однако противоречия нет.
Первую половину пути автомобиль ехал с меньшей скоростью, значит, он затратил на первую половину пути больше времени, чем на вторую. Поэтому среднюю скорость нельзя находить по формуле (39 + 78)/(2). Пусть половина пути между пунктами А и В равна х км, тогда для прохождения первой половины пути второму автомобилю потребовалось x/39 часов, для прохождения второй половины пути — x/78 часов, а всего x/39 + x/78 часов. Тогда средняя скорость второго автомобиля составит
(2x)/(x/39 + x/78) = (2 · 39 · 78)/(39 + 78) = 52 км/ч,
то есть действительно будет равна скорости первого автомобиля.
Типичные ошибки
- Это второй корень уравнения, но он меньше 48 — по условию он не подходит.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №10 по профильной математике · Разбор темы №10 с нуля