Задание №10 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 16
Условие
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.
Подсказки — как подойти к решению
- Вычти стоянку из общего времени — получишь время движения теплохода.
- Составь уравнение с временами по течению и против течения.
Решение
Пусть u км/ч — собственная скорость теплохода, тогда скорость теплохода по течению равна u + 1 км/ч, а скорость теплохода против течения равна u − 1 км/ч. На весь путь теплоход затратил 34 − 2 = 32 часов, отсюда имеем:
(255)/(u + 1) + (255)/(u − 1) = 32 ⇔ (255 · 2u)/(u² − 1) = 32 ⇔ 255u = 16u² − 16 ⇔
⇔ 16u² − 255u − 16 = 0 ⇔ u = (255 + √(255)² + 4 · 16²)/(32) или u = (255 − √(255)² + 4 · 16²)/(32). ⇔ u = 16 или u = − 1/16. при u > 0 ⇔ u = 16. ⇔
⇔ u = 16 или u = − 1/16. при u > 0 ⇔ u = 16. ⇔ 16u² − 255u − 16 = 0 ⇔
⇔ u = (255 + √(255)² + 4 · 16²)/(32) или u = (255 − √(255)² + 4 · 16²)/(32). ⇔
⇔ u = 16 или u = − 1/16. при u > 0 ⇔ u = 16.
Ответ: 16.
Примечание.
Корни квадратного уравнения 16u² − 255u − 16 = 0 можно найти по теореме, обратной теореме Виета. Действительно, u₁ + u₂ = 255/16 = 16 + (−1/16), при этом u₁ · u₂ = − 1 = 16 · (−1/16). Поэтому корни уравнения суть числа 16 и − 1/16.
Типичные ошибки
- Проверь арифметику при делении на скорости по течению и против него.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №10 по профильной математике · Разбор темы №10 с нуля