Задание №10 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением
Ответ: 20
Условие
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней, работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Подсказки — как подойти к решению
- Из условия про два и три дня следует, что производительность первого рабочего в полтора раза выше второго.
- Обозначь время первого за t и сложи производительности: вместе рабочие выполняют одну двенадцатую работы за день.
Решение
Пусть первый рабочий, работая отдельно, выполнит работу за х дней, x > 12. Второй рабочий делает за 3 дня то, что первый делает за 2 дня, поэтому, работая отдельно, он выполнит всю работу за 3/2 x дней. Объем работы не задан, примем его за 1. Производительность равна отношению работы ко времени ее выполнения: v = A/t. Составим таблицу по данным задачи.
| Производительность (ед. раб./день) | Время работы (дней) | Работа (ед.) | |
| Первый рабочий | x | 1 | |
| Второй рабочий | 1 |
Работая вместе, рабочие выполняют всю работу за 12 дней, то есть выполняют 1/ 12 часть работы ежедневно. Производительности складываются, поэтому можно составить уравнение:
1/ x + (2)/ 3x = 1/ 12 ⇔ (5)/ 3x = 1/ 12 ⇔ 3x = 5 · 12 ⇔ x = 20.
Следовательно, первый рабочий, работая отдельно, выполнит всю работу за 20 дней.
Ответ: 20.
Приведем другое решение: сведем задачу к системе уравнений.
Обозначим v ₁ и v ₂ — объёмы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объём работ примем за 1. Тогда по условию задачи 12 (v ₁ + v ₂) = 1 и 2 v ₁ = 3 v ₂. Решим полученную систему
12 (v ₁ + v ₂) = 1; 2 v ₁ = 3 v ₂. ⇔ система: 12 (v ₁ + 2/3 v ₁) = 1; v ₂ = 2/3 v ₁. ⇔ система: 20 v ₁ = 1; v ₂ = 2/3 v ₁. ⇔ система: v ₁ = 1/20; v ₂ = 1/30. система: 12 (v ₁ + v ₂) = 1; 2 v ₁ = 3 v ₂. ⇔ система: 12 (v ₁ + 2/3 v ₁) = 1; v ₂ = 2/3 v ₁. ⇔
⇔ система: 20 v ₁ = 1; v ₂ = 2/3 v ₁. ⇔ система: v ₁ = 1/20; v ₂ = 1/30.
Тем самым первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней (а второй рабочий — за 30 дней).
Приведем арифметическое решение.
Пусть первый рабочий, работая один, выполняет в день некоторую часть работы; назовем ее нормой. Тогда второй выполняет две трети нормы, а вместе рабочие выполняют пять третьих нормы. За 12 дней рабочие выполнят всю работу или 12 · 5/3 = 20 норм. Следовательно, первый рабочий один может выполнить всю работу за 20 дней.
Приведем еще одно арифметическое решение (Павел Юкляев).
Первый рабочий работает в 1,5 раза быстрее второго. Тогда, работая вместе, рабочие будут работать в 2,5 раза быстрее, чем один второй рабочий. Следовательно, один второй рабочий потратил бы на выполнение заказа 12 · 2, 5 = 30 дней, тогда один первый рабочий потратил бы 30: 1, 5 = 20 дней.
Типичные ошибки
- Это время второго рабочего. В задании спрашивают про первого — он работает быстрее.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №10 по профильной математике · Разбор темы №10 с нуля