Задание №12 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением

Найдем производную заданной функции:

y' = 2 · 1/(cos² x) − 4 = (−2 (2 cos² x − 1))/(cos² x) = (−2 cos 2x)/(cos² x).

Производная определена во всех точках заданного отрезка. Найдем ее нули на этом отрезке:

система: cos 2x = 0; − 2 π/3 ≤ 2x ≤ 2 π/3. ⇔ 2x = π/2, или 2x = − π/2. ⇔ x = π/4, или x = − π/4.

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет наименьшее из чисел y (−π/3) и y (π/4). Найдем их:

y (−π/3) = − 4 (−π/3) + 2 tg (−π/3) + π − 3 = 7 π/3 − 2 √(3) − 3 > 0,

y (π/4) = 2 · 1 − 4 (π/4) + π − 3 = − 1.

Заметим, что y (−π/3) > y (π/4), поэтому наименьшее значение функции на отрезке равно − 1.

Ответ: − 1.