Задание №12 ЕГЭ Математика (профиль) с ответом и решением

Найдем производную заданной функции:

y' = 14 − 7 · 1/(cos² x) = (7 (2 cos² x − 1))/(cos² x) = (7 cos 2x)/(cos² x).

Найдем нули производной на заданном отрезке:

система: cos 2x = 0; − 2 π/3 ≤ 2x ≤ 2 π/3. ⇔ система: 2x = π/2, или 2x = − π/2, или − 2 π/3 ≤ 2x ≤ 2 π/3. ⇔ x = π/4, или x = − π/4.

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел y (−π/3) и y (π/4). Найдем их:

y (−π/3) = 14 · (−π/3) − 7 tg (−π/3) − 7/2 π + 11 = − 49/6 π + 7 √(3) + 11,

y (π/4) = 14 · π/4 − 7 tg π/4 − 7/2 π + 11 = 4.

Заметим, что y (π/4) > y (−π/3), поэтому наибольшее значение функции на отрезке равно 4.

Ответ: 4.