Задание №16 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
Чему будет равна общая сумма выплат (в миллионах рублей) после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?
Подсказки — как подойти к решению
- Наибольший платёж — всегда первый: он содержит проценты на весь долг и часть основного долга.
- Из условия на наибольший платёж найди срок кредита, затем сложи все выплаты: получится сумма кредита плюс все проценты.
Решение
Ясно, что наибольшим является первый платёж, соответствующий максимальной сумме долга. Пусть кредит планируется взять на n лет. Первый платёж при выплате дифференцируемыми платежами равен (9)/ n + 9 · 0,2 млн руб. По условию эта величина равна 3,6 млн руб., откуда n = 5. По формуле для выплаты В при оплате кредита S, взятого под r% годовых, имеем:
В = S + (n + 1)/(200) rS,
Поэтому
В = 9 + (5 + 1)/(200) · 20 · 9 = 14,4 млн руб.
О решении таких заданий см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой».
Ответ: 14,4.
Приведём авторское решение.
Долг перед банком (в млн рублей) по состоянию на июль должен уменьшаться до нуля равномерно:
9, (9 (n − 1))/(n),.., (9 · 2)/(n), 9/n,0.
По условию каждый январь долг возрастает на 20%, значит, последовательность размеров долга (в млн рублей) в январе такова:
10,8, (10,8 (n − 1))/(n),.., (10,8 · 2)/(n), 10,8/n.
Следовательно, выплаты (в млн рублей) должны быть следующими:
1,8 + 9/n, (1,8 (n − 1) + 9)/(n),.., (1,8 · 2 + 9)/(n), (1,8 + 9)/(n).
Получаем 1,8 + 9/n = 3,6, откуда n = 5. Значит, всего следует выплатить
9 + 1,8 (1 + 4/5 + 3/5 + 2/5 + 1/5) = 9 + 1,8 · 3 = 14,4 (млн рублей).
Ответ: 14,4 млн рублей.
Типичные ошибки
- Частая ошибка: складывать только проценты, забывая, что выплаты включают и сам долг.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №16 по профильной математике · Разбор темы №16 с нуля