Задание №16 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг увеличивается на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами, то есть за два года.
Подсказки — как подойти к решению
- Два равных платежа: обозначь платёж за x и распиши долг по годам.
- Во второй год проценты начисляются уже на остаток после первой выплаты — учти это в уравнении.
Решение
В июле 2020 года долг составлял 147 тыс. руб. После начисления 10% он стал составлять 147 + 14, 7 = 161,7 тыс. руб. Пусть первая выплата была равна x тыс. руб. Тогда долг на июль 2021 года стал составлять 161,7 − x тыс. руб.
После второго начисления процентов сумма долга составила (161,7 − x)1, 1 = 177,87 − 1,1x. Этот долг был погашен вторым платежом, равным x, откуда получаем уравнение 177,87 − 1, 1x = x. Из этого уравнения находим x = 84,7 тыс. руб. Поэтому банку было выплачено 2x = 169,4 тыс. руб.
Ответ: 169 400.
Приведём решение в общем случае.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
S₂ = S₁b − X = (Sb − X) b − X = Sb² − (1 + b) X.
По условию кредит будет погашен двумя платежами, поэтому Sb² − (1 + b) X = 0, откуда X = (Sb²)/(b + 1).
При S = 147 000 и а = 10 получаем: b = 1,1 и
2X = 2 · (147000 · 1,21)/(2,1) = 169,4 (тыс. рублей).
Ответ: 169 400 рублей.
Типичные ошибки
- Частая ошибка: считать проценты дважды от первоначальной суммы, а не от остатка долга.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №16 по профильной математике · Разбор темы №16 с нуля