Задание №16 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет был взят кредит, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 27 млн рублей?
Подсказки — как подойти к решению
- Долг уменьшается равными частями: проценты за все годы удобно выразить через сумму первого и последнего остатков.
- Общая сумма выплат равна сумме кредита плюс проценты; вырази проценты через срок и реши уравнение.
Решение
По формуле для переплаты П при выплате суммы кредита S = 18 млн рублей дифференцированными платежами имеем:
П = (n + 1)/(200) rS,
где n — искомое число лет, а r = 10 — величина платежной ставки в процентах (см. Гущин Д. Д. «Встречи с финансовой математикой»; для получения полного балла доказательство этих формул необходимо приводить на экзамене). По условию, переплата П равна 27 − 18 = 9 млн рублей,
9 = (n + 1)/(2) · 0,1 · 18,
откуда n = 9.
Приведем другое решение.
Долг уменьшается каждый июль равномерно: 18, 18/n (n − 1),.., (2 · 18)/(n), 18/n,0.
В январе долг возрастает на 10%, значит, долг в январе:
1,1 · 18, (1,1 · 18 (n − 1))/(n),.., (2 · 1,1 · 18)/(n), (1,1 · 18)/(n).
Выплаты:
0,1 · 18 + 18/n, (0,1 · 18 (n − 1))/(n) + 18/n,.., (0,1 · 18 · 2)/(n) + 18/n,\ (0,1 · 18)/(n) + 18/n. 0,1 · 18 + 18/n, (0,1 · 18 (n − 1))/(n) +
+ 18/n,.., (0,1 · 18 · 2)/(n) + 18/n,\ (0,1 · 18)/(n) + 18/n.
Тогда
18 + 0,1 · 18 (n/n + (n − 1)/(n) +... + 2/n + 1/n) = 18 + 18 (0,1 (n + 1))/(2) = 27 ⇔ 1,8 ((n + 1))/(2) = 9 ⇔ n = 9. 18 + 0,1 · 18 (n/n + (n − 1)/(n) +... + 2/n + 1/n) = 18 + 18 (0,1 (n + 1))/(2) = 27 ⇔
⇔ 1,8 ((n + 1))/(2) = 9 ⇔ n = 9.
Ответ: 9.
Типичные ошибки
- Частая ошибка: считать, что проценты начисляются только в первый год.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №16 по профильной математике · Разбор темы №16 с нуля