Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Найдите все значения а, при каждом из которых
система: (x + ax + a)/(x − 2a − 2) ≥ 0; x + ax > 8.
не имеет решений.
Подсказки — как подойти к решению
- Каждое из двух условий задаёт свою область на плоскости (x; a); отсутствие решений означает, что эти области не пересекаются.
- Первое условие разбери методом интервалов: знак дроби зависит от расположения точек x = 2a + 2 и корней числителя.
Решение
Рассмотрим второе неравенство системы
(1 + a) x > 8.
Если a = − 1, то неравенство, а значит, и не имеет решений.
Если a > − 1, то решение неравенства — луч
x > (8)/(1 + a).
Если a < − 1, то решение неравенства — луч
x < (8)/(1 + a).
При a ≠ − 1 первое неравенство системы принимает вид
система: (1 + a) (x + (a)/(1 + a)) (x − 2 (1 + a)) ≥ 0; x ≠ 2 (1 + a).
Если a > − 1, то решением первого неравенства исходной системы будут два луча с концами в точках − (a)/(1 + a),2 (1 + a). Очевидно, что при a > − 1 решение системы будет содержать луч вида (b, +∞), где b — большее из чисел (8)/(1 + a), − (a)/(1 + a) и 2 (1 + a), а значит, будет иметь решение.
Если a < − 1, то, в случае − (a)/(1 + a) = 2 (1 + a) при a < − 1 ⇔ a = − 2 первое неравенство исходной системы, а значит, и не будет иметь решений. В остальных случаях решением первого неравенства исходной системы будет полуинтервал с концами в точках − (a)/(1 + a), 2 (1 + a). Отметим, что точки x = 2 (1 + a) нет во множестве решений первого неравенства.
Для того чтобы в этом случае не имела решений, необходимо и достаточно:
система: a < − 1; a ≠ − 2; − (a)/(1 + a) ≥ (8)/(1 + a); 2 (1 + a) ≥ (8)/(1 + a). ⇔ система: a ≠ − 2; − 8 ≤ a < − 1; (1 + a)² ≤ 4. ⇔ − 3 ≤ a < − 2, − 2 < a < − 1.
Учитывая случаи a = − 1, a = − 2, получаем ответ.
Ответ: − 3 ≤ a ≤ − 1.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: решать неравенства по отдельности и не проверить, что их решения не имеют общих точек.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля