Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
Известно, что значение параметра а таково, что система:
система: 2 ^ (ln y) = 4 ^ (|x|); log₂ (x ^ (4) y² + 2a²) = log₂ (1 − ax² y²) + 1.
имеет единственное решение. Найдите это значение параметра a и решите систему при найденном значении параметра.
Подсказки — как подойти к решению
- Из первого уравнения вырази y через x и подставь во второе — получится уравнение относительно x².
- Единственность решения удобно искать через замену t = x²: у получившегося уравнения должен быть ровно один неотрицательный корень.
Решение
Из первого уравнения системы получаем
2 ^ (ln y) = 4 ^ (|x|) ⇔ y = e ^ (2|x|).
Заметим, что если пара (x; y) — решение системы, то пара (−x; y) — также решение этой системы. Поскольку имеет единственное решение, то этим решением может быть только пара (0;y). Таким образом, x = 0 и из второго уравнения получаем:
log₂ (2a²) = log₂ 1 + 1 ⇔ log₂ (2a²) = 1 ⇔ 2a² = 2 ⇔ a = 1, или a = − 1.
Проверим, действительно ли при найденных значениях a имеет единственное решение.
1. Если a = 1, то второе уравнение системы имеет единственное решение:
log₂ (x ^ (4) y² + 2) = log₂ (1 − x² y²) + 1 ⇔ x ^ (4) y² + 2 = 2 − 2x² y² ⇔ y² (x ^ (4) + 2x²) = 0 при y > 0 ⇔ x = 0. log₂ (x ^ (4) y² + 2) = log₂ (1 − x² y²) + 1 ⇔
⇔ x ^ (4) y² + 2 = 2 − 2x² y² ⇔ y² (x ^ (4) + 2x²) = 0 при y > 0 ⇔ x = 0. log₂ (x ^ (4) y² + 2) = log₂ (1 − x² y²) + 1 ⇔
⇔ x ^ (4) y² + 2 = 2 − 2x² y² ⇔
⇔ y² (x ^ (4) + 2x²) = 0 при y > 0 ⇔ x = 0.
Тогда y = e ^ (0) = 1, а значит, пара (0; 1) является единственным решением системы.
2. Если a = − 1, то второе уравнение системы имеет три решения:
log₂ (x ^ (4) y² + 2) = log₂ (1 + x² y²) + 1 ⇔ x ^ (4) y² + 2 = 2 + 2x² y² ⇔
⇔ y² (x ^ (4) − 2x²) = 0 при y > 0 ⇔ x² (x² − 2) = 0 ⇔ x = 0, или x = √(2), или x = − √(2). log₂ (x ^ (4) y² + 2) = log₂ (1 + x² y²) + 1 ⇔
⇔ x ^ (4) y² + 2 = 2 + 2x² y² ⇔ y² (x ^ (4) − 2x²) = 0 при y > 0 ⇔
при y > 0 ⇔ x² (x² − 2) = 0 ⇔ x = 0, или x = √(2), или x = − √(2).
Каждому из найденных значений x соответствует значение y = e ^ (2|x|), а потому имеет три решения.
Ответ: имеет единственное решение (0;1) при a = 1.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: найдя значение a, не проверить подстановкой, что решение действительно единственное.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля