Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Система не изменяется при одновременной замене x на y, а y на x, при одновременной замене x на –x, а y на –y, при одновременной замене x на –y, а y на –x. Следовательно, есть имеет решение (x₀; y₀), то она имеет и решения (y₀; x₀), (−x₀; − y₀) и (−y₀; − x₀). Чтобы имела ровно два решения, какие-то из пар должны совпадать.

Пары (x₀; y₀) и (−x₀; − y₀) совпадать не могут, поскольку в этом случае первое уравнение системы принимает вид 2a = 0, а второе принимает вид 2a − 1 = 0, что невозможно одновременно.

Если (x₀; y₀) = (y₀; x₀), то первое уравнение системы принимает вид 2x² = 2a, а второе принимает вид 2x² = 2a − 1, что также невозможно.

Остается случай (x₀; y₀) = (−y₀; − x₀). Теперь первое уравнение системы принимает вид 2x² = 2a, а второе принимает вид − 2x² = 2a − 1. В этом случае 2a = 1 − 2a, откуда получаем единственное возможное значение a = 1/4.

При найденном значении параметра действительно имеет ровно два решения:

система: x² + y² = 1/2, 2xy = − 1/2. ⇔ система: (x + y)² = 0, xy = − 1/4. ⇔ система: x = − y, y² = 1/4. ⇔ система: x = 1/2, y = − 1/2, система: x = − 1/2, y = 1/2.

Ответ: a = 1/4.

Приведем другое решение.

Заменим первое уравнение разностью, а второе — суммой исходных уравнений:

система: x² + y² = 2a; 2xy = 2a − 1. ⇔ система: (x − y)² = 1, (1); (x + y)² = 4a − 1. (2).

При a < 1/4 второе уравнение системы, а значит, и вся решений не имеет. При a ≥ 1/4 уравнения системы задают прямые:

(1) ⇔ y = x − 1, или y = x + 1.

(2) ⇔ y = − x − √(4a − 1), или y = − x + √(4a − 1).

Ясно (см. рис.), что при a > 1/4 имеет четыре решения (координаты точек A, B, C и D), а при a = 1/4 — два решения (координаты точек M и N).

Ответ: a = 1/4.

Приведём аналитическое решение.

Из второго уравнения системы находим, что число x = 0 является решением системы, если a = 1/2. При этом значении параметра принимает вид

система: x² + y² = 1,2xy = 0.

и имеет 4 решения: (0; 1) или (1; 0). Такое значение параметра не подходит по условию. Следовательно, чтобы имела ровно два решения, необходимо, чтобы a ≠ 1/2, а потому x ≠ 0, и можно разделить обе части второго уравнения на х. Находим:

система: x² + y² = 2a,y = (2a − 1)/(2x). ⇔ система: x² + ((2a − 1)/(2x))² = 2a,y = (2a − 1)/(2x). ⇔

⇔ система: x² + ((2a − 1)²)/(4x²) = 2a,y = (2a − 1)/(2x). ⇔ система: 4x ^ 4 − 8a x² + (2a − 1)² = 0,y = (2a − 1)/(2x). система: x² + y² = 2a,y = (2a − 1)/(2x). ⇔ система: x² + ((2a − 1)/(2x))² = 2a,y = (2a − 1)/(2x). ⇔

⇔ система: x² + ((2a − 1)²)/(4x²) = 2a,y = (2a − 1)/(2x). ⇔

⇔ система: 4x ^ 4 − 8a x² + (2a − 1)² = 0,y = (2a − 1)/(2x).

Из второго уравнения полученной системы по каждому значению х можно найти единственное значение y. Значит, имеет ровно два решения тогда и только тогда, когда ровно два решения имеет первое уравнение. Сделаем замену t = x², получим уравнение

4t² − 8at + (2a − 1)² = 0.

Исходная задача равносильна требованию найти все значения параметра, при которых полученное уравнение при a ≠ 1/2 имеет ровно один положительный корень. Если полученное уравнение имеет два корня, то эти корни одного знака, так как по теореме Виета t₁ · t₂ = ((2a − 1)²)/(4) > 0, значит, этот случай не подходит. Найдем четверть дискриминанта: D/4 = 16a² − 4 (2a − 1)² = 64a − 16. Полученное выражение обращается в нуль при a = 1/4. При этом значении параметра уравнение имеет корень t = 1/4. Это решение положительное, поэтому найденное значение параметра искомое.

Ответ: a = 1/4.

Приведем идею еще одного решения.

Заменим второе уравнение разностью первого и второго уравнений, получим равносильную систему

x² + y² = 2a, (x − y)² = 1.

При a ≤ 0 полученная несовместна. При a > 0 первое уравнение задает окружность, которая должна иметь ровно две общие точки с прямыми

y = x − 1,

y = x + 1.

Построив графики, убеждаемся, что искомый случай соответствует касанию окружности с найденными прямыми.

Ответ: a = 1/4.