Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
При каких значениях параметра а система: 3 · 2 ^ (|x|) + 5|x| + 4 = 3y + 5x² + 3a; x² + y² = 1. имеет единственное решение?
Подсказки — как подойти к решению
- Второе уравнение задаёт окружность; в первом уравнение содержит x , поэтому удобно рассмотреть замену по модулю.
- Система симметрична относительно замены x на −x, поэтому единственное решение достигается на оси симметрии при x = 0.
Решение
Прежде всего: заметим, что если (x₀;y₀) — решение системы при некотором значении параметра а, то при этом значении параметра решением системы будет и (−x₀;y₀). Отсюда следует, что условие x = 0 является необходимым условием существования у системы единственного решения.
При x = 0 перепишется в виде
3a = 7 − 3y; y² = 1.
Решая эту систему относительно а, находим, что требуемые значения а могут принадлежать только множеству 4/3; 10/3. Пусть a = 4/3. Тогда примет вид
система: 3 · 2 ^ (|x|) + 5|x| = 5x² + 3y; x² + y² = 1.
Из второго уравнения системы следует, что |x| ≤ 1 и |y| ≤ 1, и, таким образом, 5x² ≤ 5|x|. Учитывая теперь, что 2 ^ (|x|) ≥ 1, приходим к неравенству
3 · 2 ^ (|x|) + 5|x| ≥ 3y + 5x²,
которое означает, что первое равенство системы справедливо только при 2 ^ (|x|) = 1, |x| = x², следовательно, y = 1, т. е. при x = 0, y = 1. Итак, при a = 4/3 имеет единственное решение.
Пусть теперь a = 10/3. При таком значении параметра а перепишется в виде
3 · 2 ^ (|x|) + 5|x| = 5x² + 3y + 6; x² + y² = 1.
Эта имеет решения x = 0, y = − 1, x = 1, y = 0 и, таким образом, при a = 10/3 условию единственности решения не удовлетворяет. Заметим, что решения здесь просто угаданы.
Ответ: a = 4/3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не заметить симметрию системы и пытаться решать её полностью.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля