Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
При каких значениях параметра a система: y = x² − 2x; x² + y² + a² = 2x + 2ay. имеет решения?
Подсказки — как подойти к решению
- Во втором уравнении выдели полные квадраты — получится окружность, центр которой зависит от параметра.
- Первое уравнение — парабола. Система имеет решения, когда парабола и окружность пересекаются: оцени расстояние от центра окружности до вершины параболы.
Решение
Перепишем исходную систему в виде
(x − 1)² = y + 1; (y − a)² + (x − 1)² = 1.
Исходная имеет решения тогда и только тогда, когда относительно y имеет решения система:
система: (y − a)² + y + 1 = 1; y + 1 ≥ 0. ⇔ система: y² + (1 − 2a) y + a² = 0; y ≥ − 1.
Решая уравнение этой системы, находим, что y = (2a − 1 √(1 − 4a))/(2). Требование задачи будет выполнено, если последняя смешанная имеет хотя бы одно решение. Искомые значения a находятся из совокупности неравенств
(2a − 1 √(1 − 4a))/(2) ≥ − 1 ⇔ √(1 − 4a) − 1 − 2a, √(1 − 4a) ≤ 1 + 2a.
Иррациональные неравенства можно решить, используя теоремы о ⇔ сти:
√(x) ≤ y ⇔ система: x ≥ 0,y ≥ 0, x ≤ y². и √(x) ≥ y ⇔ система: y < 0,x ≥ 0, система: y ≥ 0,x ≥ y². ⇔ система: y < 0,x ≥ 0, x ≥ y².
Получим: − 2 ≤ a ≤ 1/4 или 0 ≤ a ≤ 1/4, что дает − 2 ≤ a ≤ 1/4.
Другой путь решения неравенств — ввести замену t = √(1 − 4a). В этом случае a = 1/4 (1 − t²). Тогда:
t ≥ − 1 − 1/2 (1 − t²), откуда t² − 2t − 3 ≤ 0 при t ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 3
и
t ≤ 1 + 1/2 (1 − t²), что дает t² + 2t − 3 ≤ 0 при t ≥ 0 ⇔ 0 ≤ t ≤ 1.
Таким образом, 0 ≤ t ≤ 3. Возвращаясь к исходной переменной, получаем:
0 ≤ √(1 − 4a) ≤ 3 ⇔ 0 ≤ 1 − 4a ≤ 9 ⇔ − 1 ≤ − 4a ≤ 8 ⇔ − 2 ≤ a ≤ 1/4.
Ответ: a принадлежит [ − 2, 1/4 ].
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: подставлять одно уравнение в другое и терять геометрический смысл задачи.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля