Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
При каких значениях параметров а и b система: 8x + (a² + ab + b²) y = 4; (a − b) x + 26y = 2. имеет бесконечно много решений?
Подсказки — как подойти к решению
- Бесконечно много решений у линейной системы бывает тогда, когда уравнения пропорциональны.
- Приравняй отношения коэффициентов при x, при y и свободных членов — получится система относительно a и b.
Решение
На координатной плоскости хОу множество точек (x;y), удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. Тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. Заметим при этом, что вне зависимости от значений параметров первое уравнение системы задаёт не горизонтальную прямую (коэффициент перед x не равен нулю), а второе — не вертикальную (коэффициент перед y не равен нулю), значит, оба уравнения в системе можно привести к виду y = kx + b. В общем случае две прямые, заданные уравнениями y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂ совпадают, если, k₁ = k₂ и b₁ = b₂ (при k₁ ≠ k₂ они имеют одну точку пересечения, при k₁ = k₂ и b₁ ≠ b₂ точек пересечения у них нет). Следовательно, будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна
система: (a − b)/(8) = 1/2, (26)/(a² + ab + b²) = 1/2,
где a ≠ 0 и b ≠ 0.
Решая систему, получаем система: a = − 2,b = − 6. или система: a = 6,b = 2.
Ответ: (−2; − 6), (6;2).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: приравнять только два отношения из трёх и получить лишние значения параметров.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля