Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ясно, что при b = 0 имеет единственное решение

система: y = ac²; x = ac + 1,

которое выражается через a и c однозначно, то есть существует для любых a и c.

При b = 0, если умножить второе уравнение на b и из полученного уравнения вычесть первое уравнение системы, получим

(b² − 1) y = abc + b − ac².

Если же · b первое уравнение и из полученного уравнения вычесть второе уравнение системы, то

получим

(b² − 1) x = abc² − ac − 1.

Таким образом, исходная равносильна системе

y = ac² − bx; (b² − 1) x = abc² − ac − 1.

Первое уравнение полученной системы позволяет получить у по х. Следовательно, имеет решения тогда и только тогда, когда имеет решения второе уравнение.

Уравнение (b² − 1) y = abc + b − ac² имеет единственное решение при любом b ≠ 1. Если b = − 1 или b = 1, то уравнение принимает вид ac² + ac + 1 = 0 и ac² − ac − 1 = 0 соответственно. Исходная будет иметь решения если существуют a и c, удовлетворяющие полученным соотношениям. При a = 0 они не выполняются ни при каких значениях параметров. При a ≠ 0 рассмотрим их как квадратные уравнения относительно параметра с. Дискриминанты уравнений должны быть неотрицательны: a² − 4a ≥ 0 и a² + 4a ≥ 0. Решая неравенства, находим a принадлежит (−∞;0) ∪ [ 4; +∞) и a принадлежит (−∞; − 4 ] ∪ (0; +∞). Система должна иметь решения для любых значений b, поэтому найденные множества значений параметра а следует пересечь, получаем: a принадлежит (−∞; − 4 ] ∪ [ 4; +∞).

Ответ: a принадлежит (−∞; − 4 ] ∪ [ 4; +∞).

Приведём решение Николая Александрова.

Данную систему уравнений можно рассмотреть как систему двух уравнений прямых y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂. После преобразований получим: y = − bx + ac² и y = (−1/b) x + (ac + 1) /b. Прямые не имеют общих точек тогда и только тогда, когда выполняются условия: k₁ = k₂ и b1 ≠ b2. Находим: − b = (−1/b) и ac² ≠ (ac + 1) /b. Из первого уравнения находим b = 1. Подставляя во второе соотношение, получим квадратные уравнения относительно с: ac² − ac − 1 = 0 и ac² + ac + 1 = 0. Они не имеют корней, если а = 0 или если их дискриминанты отрицательны. Из условий a² + 4a < 0 и a² − 4a < 0 получаем − 4 < a < 4. При найденных значениях а не имеет решений. При прочих — имеет.

Проверьте себя.

Каким будет ответ на вопрос «При каких значениях параметра a хотя бы при одном значении параметра с данная система: будет иметь решения для любых значений параметра b? См. задачу 527046.