Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Полагая u = √(5|x|), v = √(|y + 3|), перепишем исходную систему в виде

u + v = 1; u ^ 4 + v ^ 4 = 16a.

Заметим, что если хотя бы одна из переменных u, v отрицательна, то исходная не имеет решений. Значению u = 0 соответствует x = 0, а значению v = 0 соответствует y = − 3, а каждой паре положительных значений (u, v) соответствует по два значения исходных переменных x, y соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.

Заметим далее, что если пара (u₀, v ₀) является решением системы, то и пара (v ₀, u₀) — также решение этой системы, то есть исходная получает восемь решений если u = v. Таким образом, исходная имеет четыре решения (x, y) тогда и только тогда, когда полученная имеет следующие решения: (u₁, u₁), или (u₂, 0), ((0, v ₂)), где u_ 1, 2 > 0 и v _ 2 > 0.

Рассмотрим три случая.

1. Если u = v, то из первого уравнения u = v = 1/2, из второго уравнения a = 1/128. При найденном значении параметра принимает вид

система: u + v = 1; u ^ 4 + v ^ 4 = 1/8.

Осталось убедиться, что данная не имеет других решений, кроме (1/2, 1/2). Из первого уравнения v = 1 − u, подставим во второе:

8u ^ 4 + 8 (1 − u) ^ 4 = 1 ⇔ 16u ^ 4 − 32u³ + 48u² − 32u + 7 = 0 ⇔

⇔ 16u ^ 4 − 8u³ − 24u³ + 12u² + 36u² − 18u − 14u + 7 = 0 ⇔ 8u ^ 4 + 8 (1 − u) ^ 4 = 1 ⇔

⇔ 16u ^ 4 − 32u³ + 48u² − 32u + 7 = 0 ⇔

⇔ 16u ^ 4 − 8u³ − 24u³ + 12u² + 36u² − 18u − 14u + 7 = 0 ⇔ ⇔ 8u³ (2u − 1) − 12u² (2u − 1) + 18u (2u − 1) − 7 (2u − 1) = 0 ⇔ (2u − 1) (8u³ − 12u² + 18u − 7) = 0 ⇔ ⇔ (2u − 1) (8u³ − 1 − 6 (2u² − 3u + 1)) = 0 ⇔

⇔ (2u − 1)² (4u² + 2u + 1) − 6 (u − 1)) = 0 ⇔ (2u − 1)² (4u² − 4u + 7) = 0. ⇔ (2u − 1) (8u³ − 1 − 6 (2u² − 3u + 1)) = 0 ⇔

⇔ (2u − 1)² (4u² + 2u + 1) − 6 (u − 1)) = 0 ⇔

⇔ (2u − 1)² (4u² − 4u + 7) = 0.

Последнее уравнение имеет единственный корень u = 1/2. Это доказывает, что других решений не имеет.

2. Если u = 0, а v = 1, то a = 1/16. При этом значении параметра принимает вид

система: u + v = 1; u ^ 4 + v ^ 4 = 1.

Проверим, имеет ли данная решения, отличные от (0, 1). Из первого уравнения снова v = 1 − u, подставим во второе:

u ^ 4 + (1 − u) ^ 4 = 1 ⇔ 2u ^ 4 − 4u³ + 6u² − 4u = 0 ⇔ u (u³ − 2u² + 3u − 2) = 0 ⇔ u ^ 4 + (1 − u) ^ 4 = 1 ⇔ 2u ^ 4 − 4u³ + 6u² − 4u = 0 ⇔

⇔ u (u³ − 2u² + 3u − 2) = 0 ⇔

u ((u³ − 1) − (2u² − 3u + 1)) = 0 ⇔ u (u − 1) (u² − u + 2) = 0.

Последнее уравнение имеет два корня u = 0 и u = 1. Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю v = 0 и еще двум.

3. Если v = 0, а u = 1, то a = 1/16. Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.

Ответ: a = 1/128,a = 1/16.