Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
При каких значениях а системы уравнении система: sin (x + y) = 0; x² + y² = a. и система: x + y = 0; x² + y² = a. равносильны?
Подсказки — как подойти к решению
- Равносильность означает, что множества решений двух систем совпадают.
- Первая система содержит уравнение sin(x + y) = 0, то есть целое семейство прямых: подумай, при каком a окружность пересекает его так же, как прямую x + y = 0.
Решение
При a < 0 ни одна из систем не имеет решений и, следовательно, они равносильны. При a = 0 второе уравнение, общее для обеих систем, имеет единственное решение x = 0, y = 0, удовлетворяющее и первым уравнениям обеих систем. Поэтому системы равносильны и при a = 0.
При a > 0 второе уравнение задает окружность радиуса √(a) с центром в начале координат. Уравнение sin (x + y) = 0 ⇔ бесконечной совокупности уравнений x + y = π n, n принадлежит Z.
Системы равносильны тогда и только тогда, когда окружность, определяемая вторым уравнением, имеет общие точки только с прямой x + y = 0, соответствующей n = 0 в первой системе. Для этого необходимо и достаточно, чтобы ее радиус был меньше, чем расстояние от начала координат до прямой x + y = π, т. е. чем число (π)/(√(2)).
Итак, 0 меньше √(a) < (π)/(√(2)) или 0 < a < π²/2. Добавляя полученные ранее значения a ≤ 0, получаем ответ.
Ответ: a принадлежит (−∞; π²/2).
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: рассматривать только прямую x + y = 0 из семейства и забыть остальные.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля