Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии

Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.

Условие

При каждом значении а решите систему система: 6x² + 17xy + 7y² = a; log₂ x + y (3x + 7y) = 3.

Квадратичную форму 6x² + 17xy + 7y² разложи на множители — система распадётся на два линейных случая.
В каждом случае решай логарифмическое уравнение с обязательной проверкой области допустимых значений.

Пары (x;y), дающие решение системы, должны удовлетворять условиям

система: 3x + 7y > 0; 2x + y > 0; 2x + y ≠ 1.

Из второго уравнения системы находим

3x + 7y = (2x + y)³.

Осталось заметить, что тогда

6x² + 17xy + 7y² = (3x + 7y) · (2x + y) = (2x + y) ^ (4).

Уравнение (2x + y) ^ (4) = a при условиях 2x + y > 0 и 2x + y ≠ 1 имеет при a > 0, a ≠ 1 решение 2x + y = ⁴√(a).

Тогда

3x + 7y = ⁴√(a)³,

и из полученной системы находим

x = (7 ⁴√(a) − ⁴√(a)³)/(11), y = (2 ⁴√(a)³ − 3 ⁴√(a))/(11).

Ответ: при a принадлежит (−∞;0 ] ∪ 1 решений нет, при a принадлежит (0;1) ∪ (1; +∞) (x;y) = ((7 ⁴√(a) − ⁴√(a)³)/(11); (2 ⁴√(a)³ − 3 ⁴√(a))/(11)).

Критерий (до 4 баллов)	Балл
Обоснованно получен верный ответ.	4
Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку.	3
Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки.	2
Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок.	1
Все прочие случаи.	0
Максимальное количество баллов	4

Частая ошибка: забыть, что основание логарифма должно быть положительным и не равным единице.

В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля