Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
При каждом а решите систему уравнении система: x² + y² + 2 (x − y) + 2 = 0; a² + ax + ay − 4 = 0.
Подсказки — как подойти к решению
- В первом уравнении выдели полные квадраты — это окружность фиксированного радиуса.
- Второе уравнение при разных a задаёт прямую или не задаёт ничего: разбери случай a = 0 отдельно.
Решение
Первое уравнение преобразуем к виду
x² + 2x + 1 + y² − 2y + 1 = 0,
или
(x + 1)² + (y − 1)² = 0.
Оно означает, что x = − 1, y = 1, поскольку при остальных значениях его левая часть > 0. Подставим эти значения во второе уравнение и получим a² − 4 = 0, откуда a = 2.
Таким образом, имеет решение x = − 1, y = 1 при a = 2, при остальных а решений нет.
Ответ: при a = 2, x = − 1, y = 1, при остальных а решении нет.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: делить на a, не рассмотрев случай a = 0.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля