Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
| При каких p данная имеет решения: система: x² + px + 2 = 0; sin² π p + sin² π x + 2 ^ ( | y | ) = | sin π x/2 | ?. |
Подсказки — как подойти к решению
- Квадратное уравнение относительно x имеет решения при неотрицательном дискриминанте — это даёт условие на p.
- Второе уравнение оцени: сумма квадратов синусов и показательная функция ограничены сверху, поэтому равенство возможно лишь в крайнем случае.
Решение
Поскольку sin² π p ≥ 0 и sin² π x ≥ 0,|y| ≥ 0 и, значит, 2 ^ (|y|) ≥ 1, левая часть второго уравнения системы не меньше, чем 1. Его правая часть не > 1, поэтому оно ⇔ системе
| sin² π p = 0; sin² π x = 0; 2 ^ ( | y | ) = 1; | sin π x/2 | = 1, |
из которой находим, что p принадлежит Z,x = 2k + 1, k принадлежит Z,y = 0.
Первое уравнение имеет целые коэффициенты и, чтобы исходная имела решение, должна иметь целый корень x₁ = 2k + 1. Так как x₁ + x₂ = − p,x₂ — тоже целое число, из равенства x₁x₂ = 2 получаем, что x₁ — нечетный делитель числа 2. Таким образом, он равен 1 или –1.
При x = 1 находим p = − 3, при x = − 1 находим p = 3.
Ответ: имеет решения при p = 3.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: не использовать ограниченность синуса и степени, из-за чего условие на p получается слишком слабым.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля