Задание №18 ЕГЭ Математика (профиль): разбор и критерии
Ответ на это задание — развёрнутое решение. В тренажёре его проверяет ИИ по официальным критериям ФИПИ, а здесь есть эталонное решение из банка.
Условие
При каждом а решите систему уравнений
система: 2 ^ (1 + x) = 32a √(2); √(x)² + a² + 2 − 2x − 2a + √(x)² + a² − 6x + 9 = √(5).
Подсказки — как подойти к решению
- Из первого уравнения вырази параметр a через x и подставь во второе — останется уравнение относительно x.
- Во втором уравнении каждое слагаемое имеет вид корня из квадрата: свёртка в модули подскажет, при каком x сумма минимальна.
Решение
Запишем второе уравнение в виде
√((x − 1))² + (a − 1)² + √((x − 3))² + a² = √(5).
Геометрический смысл уравнения состоит в том, что сумма расстояний от точек (x;a) до точек (1;1) и (3;0) = √(5). Поскольку расстояние между точками (1;1) и (3;0) тоже равно √(5), это означает, что точка (x;a) должна лежать на отрезке, соединяющем точки (1;1) и (3;0). Другими словами, она удовлетворяет уравнению a = (3 − x)/(2) и условию x принадлежит [ 1;3 ].
Таким образом, исходная равносильна системе
2 ^ (1 + x) = 32a √(2); 2a = 3 − x,x принадлежит [ 1;3 ]..
Подставив 2а в первое уравнение, получаем
2 ^ (1 + x) = 16 (3 − x) √(2) ⇔ 2 ^ (x − 7/2) = 3 − x ⇔ 2 ^ (x − 7/2) + x = 3.
Поскольку функция y = 2 ^ (x − 7/2) + x возрастающая (как сумма двух возрастающих), каждое значение она принимает ровно один раз. Поэтому решение x = 5/2 — единственное, ему соответствует a = 1/4.
Ответ: если a = 1/4, то x = 5/2, при остальных а нет решений.
Критерии оценивания ФИПИ
| Критерий (до 4 баллов) | Балл |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 4 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен верный ответ, но решение либо содержит пробелы, либо вычислительную ошибку или описку. | 3 |
| Рассмотрены все возможные случаи. Получен ответ, но решение содержит ошибки. | 2 |
| Рассмотрены некоторые случаи. Для рассмотренных случаев получен ответ, возможно неверный из-за ошибок. | 1 |
| Все прочие случаи. | 0 |
| Максимальное количество баллов | 4 |
Типичные ошибки
- Частая ошибка: найти a из условия минимума и не проверить его в исходной системе.
В тренажёре: подсказки по шагам, разбор твоей ошибки ИИ-репетитором (он не даёт готовый ответ), повторение ошибок по интервалам и общий прогресс. Все задания №18 по профильной математике · Разбор темы №18 с нуля